Test auf Markov-Rauschen

Der einfachste stochastische Prozeß ist das weiße Rauschen, das besagt, daß keine Information von Zeitreihenwert zu Zeitreihenwert weitergegeben wird. Im zweiteinfachsten Fall wird ein Anteil $a$ der Information immer genau einen Zeitschritt weitergegeben, d.h.

$$X_{t}=a\,X_{t-1}+\varepsilon_{t}$$ (2.17)

wobei $\varepsilon_{t}$ ein weißes Rauschen darstellt. Ein solcher Prozeß wird autoregressiver Prozeß erster Ordnung (AR(1)-Prozeß, aber auch Markov-Prozeß) genannt, eben weil die Information autoregressiv um einen Zeitschritt weitergegeben wird. Der Prozeß erscheint physikalisch sehr plausibel, denn die Zukunft hängt dann nur vom momentanen Wert und einer Übergangswahrscheinlichkeit ab, nicht aber davon wie der momentane Wert erreicht wurde. Wenn der Anteil $a$ um einen Zeitschritt weitergegeben wird und davon wieder der gleiche Anteil noch einen Zeitschritt weiter, so wird der Anteil $a^{2}$ zwei Zeitschritte weiter gegeben und allgemein der Anteil $a^{n}$ um $n$ Zeitschritte. Ein solcher Prozeß hat demnach eine Autokorrelationsfunktion von $a^{l}$, wenn $l$ die Verschiebung (Lag) ist. Man kann sich nun die Frage stellen, ob die betrachtete Zeitreihe die Realisation eines solchen Prozesses (möglicherweise mit überlagerten Schwingungen, die dann wegen der Linearität des Prozesses nicht frequenzverzerrt sind) ist, d.h.:

$$X_{t}=aX_{t-1}+\varepsilon_{t}+\sum_{i=1}^{m}[A_{i}\cos(2\pi\omega_{i}t)+B_{i}\sin(2\pi\omega_{i}t)].$$ (2.18)

Falls die Schwingungen nun wesentlich zur Varianz beitragen, sieht man sie in der Zeitreihe mit bloßem Auge. Ist dies nicht der Fall, so ist der Wert der Autokorrelation der Zeitreihe zur Verschiebung eins ($r_{1}$) ein guter Schätzwert für $a$. Kennt man aber $a$ so kennt man den Prozeß, wie er ohne die Schwingungen währe. Das Spektrum hätte dann folgende Form:

$$I_{Markov}(\tau)=\frac{2}{N}\frac{1-r_{1}^{2}}{1+r_{1}^{2}-2r_{1}\cos\left(\frac{2\pi}{\tau}\right)}.$$ (2.19)

Selbst wenn nun $r_{1}$ ein guter Schätzer für $a$ ist (was bedingt, daß die Störungen gegenüber dem reinen Markov-Prozeß klein sind) und die Zeitreihe tatsächlich aus einem Markov-Prozeß stammt, muß das Zeitreihenspektrum (auch das geglättete) nicht so aussehen. Nun kann man aber versuchen zu testen, ob das Zeitreihenspektrum ganz und gar nicht mit der Hypothese verträglich ist. Dazu genügt es die Konvidenzintervalle des theoretisch zugeordneten Spektrums zu kennen, d.h. die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmter Spektralwert weiter als ein bestimmter Wert vom theoretischen Spektrum abweicht. Es muß also nun der zu einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit größte Abstand gesucht werden (d.h. das Konfidenzintervall). Der Unterschied dieses Tests zum obigen White-Noise-Test ist der, daß hier eine unzuverlässigere Variable (nämlich der spektrale Wert, statt dem kumulativen spektralen Wert) getestet wird. Diese ist nach Panofsky und Brier (1958) $\chi^{2}$-verteilt. Man erhält das Konfidenzintervall demnach gegeben durch

$$Konf=I_{Markov}(\tau)\frac{\chi^{2}_{\varphi,\alpha}}{\varphi}$$ (2.20)

mit der Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ (d.h. $\alpha$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß das Konfidenzintervall durch Zufall überschritten wird) und dem Freiheitsgrad $\varphi$, der von der Anzahl der verwendeten Fourier-Frequenzen $M$ und der Zeitreihenlänge $N$ abhängt:

$$\varphi=\frac{2N-\frac{M}{2}}{M}.$$ (2.21)

Für die Anwendung hier (mit $M=\frac{N}{2}$) folgt daraus $\varphi = 3.5 \approx 4$. Die Konfidenzlevels $c_{\chi^{2}}$ der $\chi^{2}$-Verteilung können (mit Hilfe der Cornish-Fisher-Entwicklung) aus denen der Gauß-Verteilung $c_{Gau\ss{}}$ wie folgt berechnet werden:

$$c_{\chi^{2}}=\varphi+c_{Gau\ss{}}*\sqrt{2\varphi}+\frac{2}{... ...-1) +\frac{c_{Gau\ss{}}^{3}-7c_{Gau\ss{}}}{9\sqrt{2\varphi}}$$ (2.22)

mit:

$$\begin{eqnarray*} c_{Gau\ss{}}(.2) & = & .842\\ c_{Gau\ss{}}(.1) & = & 1.282\... ..._{Gau\ss{}}(.05) & = & 1.645\\ c_{Gau\ss{}}(.01) & = & 2.326. \end{eqnarray*}$$

Bei aller Vorsicht kann man mit diesem Test auch das weiße Spektrum (d.h. das nicht kumulative) auf überzufällige Peaks testen. Der Vorteil gegenüber dem obigen Test liegt darin, daß man bestimmte Peaks verantwortlich für die Nichtübereinstimmung machen kann, der Nachteil ist, daß das Ergebnis zweifelhaft ist.