Intervalltrend

Will man nun die Jahr-zu-Jahr-Variabilität von mehr als zwei Zeitreihen miteinander vergleichen so bietet sich die Methode des Intervalltrends an. Es sollen nun $m$ Zeitreihen miteinander verglichen werden. Zunächst werden für alle Zeitreihen $a_{j}$ mit $j=1,...,m$ die Differenzenreihen $\Delta_{j,i}= a_{j,i+1}-a_{j,i}$ gebildet. Daraus folgt dann (ähnlich der Gleichläufigkeit) der jährliche Intervalltrend $t_{j,i}$ der Reihe $a_{j}$ mit:

$$t_{j,i}=\left\{ \begin{array}{rl} 1 & \mbox{ falls } \Del... ...0\\ 0 & \mbox{ falls } \Delta_{j,i}<0 \end{array} \right.$$

Damit ist der jährliche Intervalltrend einer Zeitreihe eine positiv semidefinite Zeitreihe der Länge $n-1$. Für jeden negativen Jahr-zu-Jahr-Unterschied in $a_{j}$ ist $t_{j,i}$ null, für jeden verschwindenden Unterschied zum Folgejahr ist $t_{j,i}=\frac{1}{2}$ und für jeden positiven Unterschied ist $t_{j,i}=1$. Mittelt man nun $t_{j,i}$ über alle betrachteten Zeitreihen $m$, so erhält man den mittleren Intervalltrend $t_{i}$ in Abhängigkeit von der Zeit:

$$t_{i}=\frac{\sum_{j=1}^{m} t_{j,i}}{m}$$

Damit ist $t_{i}$ zwischen null und eins beschränkt. Falls alle Reihen vom Jahr $i$ zum Jahr $i+1$ ansteigen, so ist $t_{i}=1$. Falls alle Reihen vom Jahr $i$ zum Jahr $i+1$ abfallen, so ist $t_{i}=0$, andernfalls liegt $t_{i}$ irgendwo dazwischen. Falls die Reihen in ihrer Jahr-zu-Jahr-Variabilität keine gemeinsame Information haben, so sollte $t_{i}=.5$ sein. Das heißt, daß die Abweichung von $t_{i}$ vom Wert $.5$ ein Maß für die gleichartige (nicht gleichgerichtete) Variation ist. Bevor man dieses Maß berechnet, sollte man die Reihen paarweise auf Gleichläufigkeit testen. Zweifelsfrei sind zwei exakt gegenläufige Reihen nämlich in gutem Zusammenhang (G(a,b)=0). Trotzdem gibt der Intervalltrend gerade dann $t_{i}=\frac{1}{2}$, für alle i. Man muß sich demnach bewußt machen, daß der Intervalltrend nur gleichläufige, nicht aber gegenläufige Variationen erkennen kann. Falls nun $t_{i}$ nahe bei null oder nahe bei eins ist, kann man annehmen, daß zu dieser Zeit alle Reihen dem gleichen Einfluß ausgesetzt waren. Dies kann mit Einschränkungen als Repräsentanztest verwendet werden. Wenn $t_{i}$ für fast alle $i$ nahe bei null oder eins liegt, deutet das darauf hin, daß zwischen fast allen Reihen ein guter Zusammenhang auf der Skala der Jahr-zu-Jahr-Variationen besteht. Jahre in denen alle Reihen das gleiche Verhalten zeigen, d.h. in denen $t_{i}$ exakt null oder eins ist (das wird bei vielen Reihen immer unwahrscheinlicher), nennt man Weiserjahre. Diese Weiserjahre können gut zur Synchronisierung (d.h. zeitliche Übereinstimmung) von verschiedenen Datensätzen verwendet werden. Weiserjahre treten in dendrologischen Daten in semiariden Gebieten häufig, in gemäßigten Gebieten zuweilen und in ozeanischen (humiden) Gebieten selten auf. Dies hängt damit zusammen, daß in ozeanischen Klimaten die Temperaturvariation wesentlich geringer ist als in kontinentalen Klimaten.