Gleichläufigkeit

Die Gleichläufigkeit ist ein Maß zum Vergleich zweier Reihen $a$ und $b$. Es wird der Anteil der gleichgerichteten Jahr-zu-Jahr-Variationen berechnet. Zunächst wird jeder Reihe eine Differenzreihe zugeordnet. Dazu wird die Differenz $\Delta_{a,i}= a_{i+1}-a_{i}$ für jeden Wert der Reihe außer dem Letzten gebildet. Die Differenzreihe hat demnach die Länge $n-1$. Von diesen Differenzen werden nur die Vorzeichen weiter bearbeitet, d.h. es wird eine neue Variable $G_{a,i}$ eingeführt mit

$$G_{a,i}=\left\{ \begin{array}{rl} \frac{1}{2} & \mbox{ fa... ...1}{2} & \mbox{ falls } \Delta_{a,i}<0 \end{array} \right.$$ (6.7)

Eine solche Vorzeichenzählende Reihe kann auch der zweiten Zeitreihe $b$ zugeordnet werden. Um nun die beiden Reihen zu vergleichen wird die sog. Gleichläufigkeit $G(a,b)$ wie folgt berechnet:

$$G(a,b)= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1} \vert G_{a,i}+G_{b,i}\vert$$ (6.8)

Der Ausdruck in der Summe ist eins, falls beide Reihen vom Jahr $i$ zum Jahr $i+1$ in die gleiche Richtung gehen, $\frac{1}{2}$ falls eine der Reihen konstant bleibt und die andere sich beliebig ändert und $0$ falls sich beide Reihen nicht oder entgegengesetzt ändern. Damit gibt $G(a,b)$ den Anteil der Zeitreihenwerte an, die sich zur gleichen Zeit in die gleiche Richtung ändern. Wenn beide Reihen aus weißem Zufallsrauschen bestehen, so ist für $G(a,b)$ der Wert $.5$ zu erwarten. Je näher der Wert an $1$ oder $0$ kommt, desto mehr Zusammenhang ist in der Jahr-zu-Jahr-Variabilität der beiden Kurven. Werte nahe $0$ bedeuten Gegenläufigkeit. Der Vorteil dieser Methode gegenüber der gewöhnlichen Pearson-Korrelation ist der, daß hier die Korrelation nicht so stark von tieffrequenten Eigenschaften der Reihen beeinflußt wird. Die Gleichläufigkeit kann einfach auf mehr als zwei Zeitreihen verallgemeinert werden, indem in Glg. (B.7) nicht die Werte $\pm \frac{1}{2}$ sondern $\pm \frac{1}{m}$ verwendet werden, wenn $m$ die Anzahl der zu vergleichenden Zeitreihen ist. Gleichung (B.8) wird dann erweitert zu

$$G(a,b,\cdots,m)= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1} \left\vert\sum\limits_{k=1}^{m} G_{a_{k},i}\right\vert$$ (6.9)