Viele Zustände

Schon in Kapitel 7 wurde gezeigt, daß man mit den Weierstraßschen Sinusfunktionen ein $1/f$-Spektrum erzeugen kann. Wir können also von

$$x(t)=\sum\limits_{n=1}^{N/2} \left(\frac{n}{N}\right)^{d} \sin \left(2\,\pi\,t\,\frac{n}{N}\right)$$ (63)

ausgehen. Ohne die Struktur des Spektrums zu verändern (s. [10]) können wir statt der Sinusfunktionen auch die Rademacherfunktionen $R(t)=\mbox{sign}(\sin(t))$, also eine Funktion die zwischen plus und minus eins springt, verwenden. Dann kann $\left(\frac{n}{N}\right)^{d}$ als Sprungamplitude aufgefaßt werden und die Rademacherfunktion als Sprunghäufigkeit mit dieser Amplitude. Dabei springt die Rademacherfunktion $R\left(2\,\pi\,t\,\frac{n}{N}\right)$ mit der Wahrscheinlichkeit 1 im Intervall 0 bis $N$ mit der Häufigkeit $h_{n}=2\frac{n}{N}$. Nun kann man ohne das Spektrum zu beeinflussen, diese Häufigkeit als Sprungwahrscheinlichkeit $p_{n}$ eines Poisson-Prozesses auffassen. Man kann dann keine Aussage mehr über den Zeitpunkt der Sprünge machen, nur über die Wartezeit auf Sprünge bestimmter Amplitude. Der Erwartungswert der Wartezeit ist dann genau das Reziproke von $p_{n}$ und die Wartezeit ist exponentiell verteilt. Für die entstehende Zeitreihe gilt dann

$$x(t)=\sum\limits_{n=1}^{N/2} y_{n}(t)$$ (64)

mit

$$y_{n}(t)=a_{n}\left\{ \begin{array}{rcl} y_{n}(t-1) & \mb... ...y_{n}(t-1) & \mbox{ mit} & p_{2}=p_{n}. \end{array} \right.$$ (65)

Die Sprungamplitude $a_{n}(p_{n})$ hat die Auftrittswahrscheinlichkeit

$$p_{n}=2\,a_{n}^{-1/d}.$$ (66)

Dies ist eine hyperbolische Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die wesentliche Information, die über die Zukunft gegeben werden kann, besteht darin, das kleinere Abweichungen vom momentanen Zustand wahrscheinlicher sind als große Abweichungen. Bedenkt man, das es sich um einen Prozeß mit langem Gedächtnis handelt, ist dies nicht viel. Die physikalische Begründung dieses Modells liegt darin, daß man ein Potential definieren kann, das zahlreiche Mulden aufweist. Sie repräsentieren die Nichtlinearität des Systems. Diese Mulden sind unterschiedlich tief, mit der Bedingung, daß tiefere Mulden weiter voneinander entfernt sind als weniger tiefe. Die randomisierte Rademacherfunktion der Basisfrequenz $1/N$ wird also durch die beiden tiefsten Mulden im Potential in einem Abstand von $2\,a_{1}$ dargestellt. Zu jeder höheren Rademacherfunktion gehören weniger weit voneinander entfernte aber auch weniger tiefe Potentialmulden. Wir sehen also, daß eine Zeitreihe mit langem Gedächtnis aus einem stark zergliederten Potential und Rauschen entstehen kann. Die Existenz von Zeitreihen mit langem Gedächtnis in einem System kann demnach auch als Zeiger für ein solches Potential betrachtet werden. Sicher können daraus Informationen über das System gewonnen werden, diese müssen aber nicht unbedingt für eine kongrete Vorhersage nützlich sein.