Korrelationen

Man kann zwei Arten von Korrelationen unterscheiden. Einerseits kann man nach der Korrelation zwischen der Zeitreihe an der Position $x$ und der PC-Zeitreihe $j$ fragen. Diese Korrelation wird hier $r_{za}(j,x)$ genannt und gibt an, wieviel zeitliche Variation des Ortes $x$ durch die Zeitreihe des $j$-ten Eigenvektors angegeben ist. Andererseits kann man nach der räumlichen Korrelation zwischen dem Ursprungsfeld zur Zeit $t$ und dem Eigenvektor $j$ zur Zeit $t$ fragen. Diese Korrelation wird hier als $r_{ze}(j,t)$ bezeichnet und gibt an, wie stark der $j$-te Eigenvektor zur Zeit $t$ in der beobachteten räumlichen Struktur vorhanden ist. Für beide Arten der Korrelation können demnach Karten gemalt werden, von denen eine die Korrelation in Abhängigkeit von Ort und Eigenvektor ausdrückt, während die andere die Korrelation in Abhängigkeit von der Zeit und den Eigenvektoren ausdrückt. Das Produktmoment der Zeitreihe an der Position $x$ und der PC-Zeitreihe $j$ ist gegeben durch

$$\sum\limits_{t=1}^{n} z(t,x) a_{j}(t) = \sum\limits_{t=1... ..._{k}(t) e_{k}(t) \right] a_{j}(t) = \lambda_{j} e_{j}(x).$$ (25)

Damit folgt für den Korrelationskoeffizienten

$$r_{za}(j,x)\equiv \frac {\sum\limits_{t=1}^{n} z(t,x) a_{... ...}(x)}{\sqrt{\sum\limits_{j=1}^{p}\lambda_{j} e_{j}^{2}(x)}}.$$ (26)

Analog folgt wegen

$$\sum\limits_{x=1}^{p} z(t,x) e_{j}(x) = a_{j}(t) = \lambda_{j}^{1/2} \alpha_{j}$$ (27)

für

$$r_{ze}(j,t)\equiv \frac {\sum\limits_{x=1}^{p} z(t,x) e_{... ...{\sqrt{\sum\limits_{j=1}^{p}\lambda_{j} \alpha_{j}^{2}(t)}}.$$ (28)