Streumatrix

Die Matrix $Z$ stellt $n$ Punkte im $p$-dimensionalen Raum dar. Jeder Punkt ist dabei ein Zeitpunkt (man könnte das durchaus auch umgekehrt definieren). In dem $p$-dimensionalen Raum kann durch die Basisvektoren $\vec{e}_{1}; \vec{e}_{2}; \cdots ;\vec{e}_{p}$ eine beliebige Basis definiert werden.

$$\vec{z_{x}}^{T}(t)\cdot \vec{e}_{j} = \vec{e}_{j}^{T}\cdot \vec{z_{x}}(t) =\sum\limits_{x=1}^{p} z(t,x) e_{j}(x)$$ (13)

ist dann die Projektion der durch $Z$ beschriebenen Punktwolke in die Richtung von $\vec{e}_{j}$. Als Streuung (Scatter) in Richtung von $\vec{e}_{j}$ bezeichnet man dann

$$\Psi(\vec{e}_{j}) \equiv \sum\limits_{t=1}^{n} \left[\vec... ...\right] \left[\vec{e}_{j}^{T}\cdot \vec{z_{x}}(t)\right].$$ (14)

Das ist $n-1$ mal die Varianz der Projektion der Punktwolke auf die Achse mit der Richtung $\vec{e}_{j}$. Gleichung (14) kann leicht umgeformt werden zu

$$\Psi(\vec{e}_{j}) = \vec{e}_{j}^{T} \left[ \sum\limits_{t... ...n} \vec{z_{x}}(t) \vec{z_{x}}^{T}(t)\right] \vec{e}_{j} .$$ (15)

Der Term in den eckigen Klammern in Glg. (15) ist die Streu- bzw. Scattermatrix. Sie ist $n-1$ mal die Kovarianzmatrix. Für die Elemente $s_{x,x'}$ der Scattermatrix gilt:

$$s(x,x') = \sum\limits_{t=1}^{n} z(t,x) z(t,x').$$ (16)

In Matrixschreibweise bedeutet dies:

$$S= Z^{T} Z.$$ (17)

Die Eigenwerte der Streumatrix sind dann gegeben durch

$$S \vec{e}_{j} =\lambda \vec{e}_{j} ,\mbox{ f\uml {u}r alle } j.$$ (18)

Das zu lösende Gleichungssystem ist demnach

$$\sum\limits_{x'=1}^{p} s(x,x') \vec{e}_{j}(x') = \lambda_{j} \vec{e}_{j}(x) ,\mbox{ f\uml {u}r alle } x.$$ (19)

Mit den Matrixdarstellungen $E \equiv [\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \cdots ,\vec{e}_{p}]$ und $L=diag[\lambda_{1},\lambda{2},\cdots,\lambda_{p}]$ und $\lambda_{1}\ge\lambda_{2}\ge\cdots\ge\lambda_{p}\ge 0$ folgt die Matrixnotation:

$$S E = E L.$$ (20)

Nun kann man die Punktwolke $Z$ im Eigenvektorsystem $E$ ausdrücken. Dann ist

$$Z=\sum\limits_{j=1}^{p} \vec{a}_{j} \vec{e}_{j}^{T}.$$ (21)

Dabei sind die Amplitudenvektoren $\vec{a}_{j}$ die PC-Zeitreihen $\vec{a}_{j}= [a_{j}(1),a_{j}(2),\cdots,a_{j}(n)]^{T}$. Damit folgt

$$z(t,x) = \sum\limits_{j=1}^{p} a_{j}(t) e_{j}(x)$$ (22)

Die Einführung neuer normalisierter Amplituden $\alpha_{j}(t) \equiv a_{j}(t) / \lambda_{j}^{1/2}$ führt zu der Singular-Value-Decomposition:

$$z(t,x) = \sum\limits_{j=1}^{p} \lambda_{j}^{1/2} \alpha_{j}(t) e_{j}(x)$$ (23)

mit der Matrixschreibweise

$$Z = A' L^{1/2} E^{T}.$$ (24)