Eigenschaften von Schätzern

Der Schätzer $\hat{\Theta}$ eines Parameters $\Theta$ wird nun als eine Funktion der beobachteten Stichprobe $\Theta(x_{1},\cdots,x_{n})$ aufgefaßt. Man erwartet von Schätzern, daß sie möglichst gut sind. Gut muß aber irgendwie gemessen werden. Um dies zu tun werden die folgenden Eigenschaften von Schätzern definiert:

• Erwartungstreue (Unverzerrtheit)
  Ein Schätzer ist erwartungstreu, falls dessen Erwartungswert $E(\hat{\Theta})$ gleich dem zu schätzenden Parameter ist. Das bedeutet, daß man im Mittel, wenn man viele Stichproben verwendet, den Parameter richtig schätzt. Als Bias (bzw. Verzerrtheit) bezeichnet man die Größe $B(\hat{\Theta})= E(\hat{\Theta})-\Theta$. So unterschätzt der Schätzer $\hat{\sigma}^{2}= s^{2} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}$ die Varianz der der Stichprobe zugrunde liegenden Grundgesamtheit. $\hat{\sigma^{2}} = \frac{n}{n-1} s^{2}$ ist demhingegen ein unverzerrter Schätzer der Grundgesamtheitsvarianz $\sigma^{2}$ aus der Stichprobenvarianz $s^{2}$. Falls die Eigenschaft der Erwartungstreue nur im Grenzfall unendlich langer Stichproben gilt, spricht man von asymptotischer Erwartungstreue. So ist der Schätzer $\hat{\sigma}^{2}=s^{2}$ zumindest asymptotisch erwartungstreu.
• Mediantreue
  Eine Schätzfunktion heißt mediantreu, wenn sie den zu schätzenden Parameter in der Hälfte der Fälle unter- in der anderen Hälfte überschätzt. Die Wahrscheinlichkeit einer Überschätzung des Parameters ist dann ebenso groß wie die einer Unterschätzung.
• Effizienz
  Ein erwartungstreuer Schätzer $\Theta_{1}$ ist effizienter (wirksamer) als ein anderer erwartungstreuer Schätzer $\Theta_{2}$, wenn dessen Varianz $V(\hat{\Theta}_{1})$ kleiner ist. D.h. falls $\eta = \frac{V(\hat{\Theta}_{1})}{V(\hat{\Theta}_{2})} = \frac {E\left[(\hat{\... ...{1}))^{2}\right]} {E\left[(\hat{\Theta}_{2}-E(\hat{\Theta}_{2}))^{2}\right]}<1$ ist. Ein Schätzer heißt absolut effizient (am wirksamsten), falls kein anderer Schätzer effizienter ist.
• Konsistenz
  Ein Schätzer heißt konsistent, wenn er für unendlich lange Stichproben nicht mehr vom wahren Wert abweicht, d.h. wenn gilt: $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} P(\vert\hat{\Theta}_{n}-\Theta\vert>\varepsilon)=0, \mbox{ f\uml {u}r alle } \varepsilon$.
• Suffizienz
  Eine Schätzfunktion ist suffizient (erschöpfend), wenn sie die maximal mögliche Information der Stichprobe nutzt.
• Normalität
  Eine Schätzfunktion heißt normal, wenn sie Gauß-verteilt ist, d.h. wenn gilt $\frac{\hat{\Theta}-E(\hat{\Theta})}{\sqrt{V(\hat{\Theta})}}=N(0,1)$, mit der Varianz des Schätzers $V(\hat{\Theta})$.
• Linearität
  Eine Schätzfunktion ist linear, wenn gilt $\hat{\Theta}= a_{0} + \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} x_{i}$.

Diese einzelnen Eigenschaften können auch zusammengesetzt werden. So ist z.B. ein

• gleichmäßig bester unverzerrter Schätzer erwartungstreu und am effizientesten,
• bester linearer unverzerrter Schätzer erwartungstreu, linear und am effizientesten unter den linearen erwartungstreuen Schätzern (das ist der Blue-Schätzer, von Best Linear Unbiased Estimator),
• bester asymptotisch normaler Schätzer asymptotisch normalverteilt und besitzt die kleinst mögliche Varianz.

Mit den nun zur Verfügung stehenden Maßen können einige Schätzverfahren vorgestellt und verglichen werden.