Verschiedene Darstellungsformen

Zeichnet man $I(\lambda)$ gegen $\lambda$ an den Fourier-Stützstellen auf, so erkennt man sehr wenig, da die meisten Stützstellen bei relativ kleinen Werten von $\lambda$ liegen. Hat man z.B. eine Zeitreihe von $N=100$ Werten, so sind die Fourier-Perioden gegeben durch die Folge $100, 50, 100/3, 25, 20, ...$ Man sieht, daß $95 \%$ der Werte auf einem Fünftel des Spektrums zusammengeknäult sind, während die restlichen vier Fünftel nur von fünf Fourierstützstellen überdeckt werden. Um das Bild etwas zu entzerren, kann $I(\lambda)$ gegen $\log\lambda$ aufgetragen werden. Das aber hat den Nachteil, daß die Fläche unter dem Spektrum zwischen zwei beliebigen Perioden nicht mehr proportional zum Varianzanteil in diesem Teil des Spektrums ist. Dies ist aber eine sehr angenehme Eigenschaft. Das Varianzspektrum ist nämlich eigentlich ein Dichtespektrum, so daß das Integral (bzw. hier im diskreten Fall die Summe) über einen Teil des Spektrums der Varianz in diesem Frequenzband entspricht. Der Schätzer für dieses Integral wird übrigens zunehmend besser, je breiter das Band ist. Um trotz der Verzerrung die Flächentreue zu erhalten, muß folgende Integration unverändert bleiben:

$$\sigma^{2}=\int \sigma^{2}(\lambda) d\lambda$$ (2.1)

Dies ist z.B. erfüllt für:

$$\sigma^{2}(\lambda) d\lambda = \lambda \ln(10) \sigma^{2}(\lambda) d\log_{10}\lambda$$ (2.2)

denn es gilt:

$$\frac{d\log_{10}\lambda}{d\lambda}=\frac{1}{\lambda\ln(10)}.$$ (2.3)

Der Nachteil, den man sich mit dem Erhalt der Flächentreue einhandelt, ist der, daß Peaks durch die Transformation verschoben werden können. Dies sollte man auf keinen Fall aus den Augen verlieren, wenn man Peaks beurteilen will (wohlgemerkt: einzelne Peaks sind etwas sehr unsicheres, Flächen unter mehreren benachbarten Peaks sind viel genauer). Natürlich sind noch verschiedene andere Darstellungsformen möglich, z.B. eine log-log-Darstellung, die nicht flächentreu ist.