Punktprozesse

Punktprozesse sind Prozesse, bei denen zu bestimmten Zeitpunkten Ereignisse stattfinden. Im einfachsten Fall erlaubt man nur eine Art von Ereignis, das entweder stattfindet (Wertzuweisung 1), oder nicht (Wertzuweisung 0). Im allgemeinen findet ein solcher Prozeß in kontinuierlicher Zeit statt. Dann ist die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Ereignisses im Zeitintervall von $t$ bis $t+dt$ gegeben durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion $f(t)dt$. Analog können auch gemeinsame (Mehrzeiten-) Wahrscheinlichkeitsfunktionen definiert werden. Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Ereignisses im Intervall $[t_{1},t_{1}+dt]$ und eines Ereignisses im Intervall $[t_{2},t_{2}+dt]$ ist dann gegeben durch die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsfunktion $f(t_{1},t_{2})\,dt_{1}\,dt_{2}$. In analoger Weise kann man auch die höherdimensionalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen definieren. Verschiedene Arten von Punktprozessen sind durch verschiedene Wahrscheinlichkeitsfunktionen definierbar. Der einfachste Punktprozeß ist der Poisson-Prozeß, der im nächsten Abschnitt vorgestellt wird. Die Verallgemeinerung auf Punktprozesse mit mehreren unterscheidbaren Ereignissen kann leicht angegeben werden. Geht man davon aus, daß $k=1,2,\cdots K$ verschiedene Ereignisse möglich sind, so ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion für das Auftreten des Ereignisses $i$ im Zeitintervall $[t,t+dt]$ gegeben durch $f_{i}(t)dt$. Analog ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion dafür, daß im Zeitintervall $[t_{1},t_{1}+dt]$ ein Ereignis der Sorte $i$ und im Zeitintervall $[t_{2},t_{2}+dt]$ ein Ereignis der Sorte $j$ auftritt, gegeben durch $f_{i,j}(t_{1},t_{2})\,dt_{1}\,dt_{2}$. Beobachtungen liegen i.A. zu diskreten Zeiten (bzw. über Zeitintervallen $\Delta t$) vor. Dadurch kann in der Praxis i.A. von den $dt$ zu $\Delta t$ übergegangen werden. Dabei dürfen Ereignisse innerhalb eines Zeitschrittes nur einfach vorkommen. Um das Problem des mehrfachen Auftretens eines Ereignisses innerhalb eines Zeitschrittes zu handhaben, kann man mehrfaches Auftreten eines Ereignisses innerhalb eines Zeitschritts als ein anderes Ereignis bezeichnen. Hat man z.B. als Zeitschritt ein Jahr, so kann man die Ereignisse kein Hochwasser, ein Hochwasser und mehr als ein Hochwasser unterscheiden.