Wiederkehrzeit und Risiko

Wiederkehrzeit und Risiko sind die wesentlichen Begriffe in der klassischen Extremwertstatistik. Da das Eintreten eines Extremwertes ein zufälliges seltenes Ereignis ist, ist die Zeit bis zum erneuten Eintreten eines Extremwertes (Wartezeit) auch eine Zufallsvariable. Die Wiederkehrzeit $\tau$ ist nun der Erwartungswert $\tau = E(g(t))$ der Wartezeitverteilung $g(t)$. Zusätzlich zum Erwartungswert als Lageparameter der Wartezeit, interessiert auch dessen Verteilung. In vielen Fällen ist die Wartezeitverteilung nur abschätzbar. Dies führt, wie in vielen anderen Bereichen, in denen Verteilungen nicht formal einfach angegeben werden können, dazu, daß man Quartile angibt. So kann man z.B. die Wahrscheinlichkeit dafür angeben, daß sich ein Extremwert innerhalb von $k$ Jahren wiederholt. Diese Wahrscheinlichkeit heißt Risiko und folgt aus der Wartezeitverteilung $g(t)$ als

$$R(k) = \sum\limits_{t=1}^{k}g(t).$$ (1.4)

Das Risiko für das Eintreten eines Extremwertes innerhalb der nächsten $k$ Zeiteinheiten folgt also in diesem diskreten Fall aus der Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle Wartezeiten bis $k$. Wenn die Eintrittswahrscheinlichkeit für Extremwerte stationär ist, dann hängen weder die Wiederkehrzeit, noch das Risiko explizit von der Zeit ab, und sind analytisch ausdrückbar. Im zeitdiskreten Fall handelt es sich dann um einen Bernoulli-Prozeß, der im folgenden Kapitel beschrieben wird.