Definition

Man kann einen Extremwert $x_{e}$ dadurch definieren, daß es ein Wert aus einer kontinuierlichen oder diskreten Variable $X$ ist, der eine vorgegebene Schwelle $x_{c}$ überschreitet (bzw. unterschreitet) und für den die Eintrittswahrscheinlichkeit $p_{c}=p(x \ge x_{c})$ klein ist. Kennt man die Wahrscheinlichkeitsdichte $f(x,t)$ der Variablen $X$ zur Zeit $t$ so folgt für $p_{c}$

$$p_{c}(t)=1-\int\limits_{-\infty}^{x_{c}} f(x,t)\,dx.$$ (1.1)

Falls $X$ eine zeitkontinuierliche Variable ist, ist $p_{c}(t) dt$ die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, daß der Extremwert im Zeitintervall $t$ bis $t+dt$ eintritt. Bei diskreter Zeitbetrachtung, gibt $p_{c}(t)$ die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Extremwertes im Zeitintervall von $t$ bis $t+\Delta t$ an. Man beachte, daß im zeitkontinuierlichen Fall erst das Integral über $p_{c}(t)$ wieder eine Wahrscheinlichkeit ist. Diese Unterscheidung wird uns noch öfter begegnen. Gleichung (1.1) vereinfacht sich drastisch für stationäre Prozesse ohne Gedächtnis (weisses Rauschen). Für den Fall von Gaußschem weißen Rauschen mit der Standardabweichung 1 und dem Mittelwert 0 folgt

$$\begin{array}{rcl} p_{c}(t) & = & 1-\int\limits_{-\infty}^... ... \mbox{ f\uml {u}r } x_{e}\le x_{c} \le\mu . \end{array}$$ (1.2)

Obwohl diese Gleichung mit Hilfe der Numerical Recipies leicht lösbar ist, muß man auch in diesem einfachen Fall aufpassen, ob man sich für Maxima, Minima oder beides interessiert. Falls die Variable $X$ einer einfachen theoretisch beschreibbaren Verteilung wie der eben verwendeten Gaußverteilung genügt, weiß, aber instationär ist, in dem Sinn, daß Lage- und Streuparameter als Funktionen der Zeit dargestellt werden können, kann die Integration von Gleichung (1.1) immernoch durch Funktionen der Numerical Recipies genähert werden. Es gilt dann z.B. für daß varianz- und mittelwertinstationäre gaußsche weiße Rauschen

$$p_{c}(t) = 1-\int\limits_{-\infty}^{x_{c}} \frac{1}{\sqrt... ...exp\left(\frac{(x-\mu(t))^{2}}{\sigma^{2}(t)}\right) \,dx .$$ (1.3)

Falls ein Prozeß Autokorrelation besitzt, kann er nicht mehr auf diese Weise formuliert werden. Man muß dann Information über die Vorgängerwerte berücksichtigen, denn dann ist $f(x,t)$ eine Funktion der Verteilungen zu früheren Zeiten. Für wertdiskrete Reihen kann dies durch eine Markov-Kette beschrieben werden.