Weitere ausgewählte Fälle

Im letzten Abschnitt der Anwendungen werden noch einmal verschiedene Zeitreihenpaare erzeugt und analysiert. Dabei wurden alle Zahlenwerte zwischen null und eins beschränkt. Folgende 10 Zeitreihenpaare der Länge 300 werden untersucht:

1. 
   
   $$\begin{array}{rcl} X_{t} & = & \eta_{t}\\ [1ex] Y_{t} & = & .7\,X_{t} + .3\, \varepsilon_{t} \end{array}$$
   
   

2. 
   
   $$\begin{array}{rcl} X_{t} & = & .5\,\eta_{t}\\ & + & \fra... ...ft(2\,\pi\frac{t}{80}\right)+1\right]\frac{1}{2} \end{array}$$
   
   

3. 
   
   $$\begin{array}{rcl} X_{t} & = & \varepsilon_{t}\\ [1ex] Y_{t} & = & 4\,Y_{t-1}\,(1-Y_{t-1}) \end{array}$$
   
   

4. 
   
   $$\begin{array}{rcl} X_{t} & = & 4\,X_{t-1}\,(1-X_{t-1})\\ [1ex] Y_{t} & = & 4\,Y_{t-1}\,(1-Y_{t-1}) \end{array}$$
   
   

5. 
   
   $$\begin{array}{rcl} X_{t} & = & .5\,\eta_{t}\\ & + & \frac{... ...ac{t}{60.5}+\pi\right)+1\right]\frac{1}{2}\\ [1ex] \end{array}$$
   
   

6. 
   
   $$\begin{array}{rcl} X_{t} & = & 3.7\,X_{t-1}*(1-X_{t-1})+.06\... ... & 3.7\,Y_{t-1}*(1-Y_{t-1})+.06\,(X_{t-1}-Y_{t-1}) \end{array}$$
   
   

7. 
   
   $$\begin{array}{rcl} X_{t} & = & \eta_{t}\\ [1ex] Y_{t} & = & .5\,X_{t}+.5\,\varepsilon_{t} \end{array}$$
   
   

8. 
   
   $$\begin{array}{rcl} X_{t} & = & \eta_{t}\\ [1ex] Y_{t} & = & Y_{t-1}*(1-Y_{t-1})\,(3.4699456+.1\cdot X_{t}) \end{array}$$
   
   

9. 
   
   $$\begin{array}{rcl} X_{t} & = & \left[\cos\left(2\,\pi\frac{t... ...= & Y_{t-1}*(1-Y_{t-1})\,(3.4699456+.1\cdot X_{t}) \end{array}$$
   
   

10. 
    
    $$\begin{array}{rcl} X_{t} & = & X_{t-1}*(1-X_{t-1})\,(3.46994... ... [1ex] Y_{t} & = & Y_{t-1}*(1-Y_{t-1})\,3.5699456 \end{array}$$
    
    

Ergebnisse der Analyse der zehn ausgewählten Zeitreihenpaare (Anhang A enthält die auführlichen protokolle. In Anhang B sind Zeitreihenausschnitte und Streudiagramme):

1. Der lineare Zusammenhang wird eindeutig erkannt.
2. Der lineare Zusammenhang wird eindeutig erkannt.
3. Es wird kein signifikanter Zusammenhang erkannt.
4. Es wird höchst signifikant (99.89%) ein schwacher und mit 99.9 % nichtlinearer Zusammenhang erkannt (Kontingenz .3). Da aber die beiden (zwar gleichen) Dynamiken mit unterschiedlichen Anfangswerten gestartet wurden, wird man vergeblich einen funktionalen Zusammenhang suchen. Die Gemeinsamkeit liegt darin, daß beide Zeitreihen auf dem selben Attraktor liegen.
5. Es wird kein signifikanter Zusammenhang erkannt, denn er ist zu schwach um ihn mit diesen Methoden bei der gewählten Zeitreihenlänge zu erkennen.
6. Es wird höchst signifikant (99.89%) ein schwacher und mit 99.9 % nichtlinearer Zusammenhang erkannt (Kontingenz .3). Es handelt sich um Hyperchaos, das ohne die Untersuchung von Autokorrelationsmaßen nicht weiter identifizierbar sein wird.
7. Der lineare Zusammenhang wird eindeutig erkannt.
8. Es wird kein signifikanter Zusammenhang erkannt. Die erste Reihe enthält eine Zufallsschwankung, die den Kontrollparameter der Dynamik der zweiten Reihe stört. Diese Störung ist zu schwach, um von dem Verfahren gesehen zu werden.
9. Der Zusammenhang wird eindeutig erkannt und ist höchst signifikant nichtlinear. Die langsamen Veränderungen des Kontrollparameters der Dynamik der zweiten Reihe durch die harmonische Funktion der ersten Reihe wird klar gesehen.
10. Die Ähnlichkeit zwischen der zufällig gestörten Dynamik der ersten Reihe und der ungestörten Dynamik der zweiten Reihe wird von allen Maßen klar gesehen. Die Kontingenz ist höchst signifikant größer als die anderen Maße. Daran erkennt man die nichtlineare Abhängigkeit der Dynamik vom Wert des Kontrollparameters.