Systematische Untersuchungen

In diesem Abschnitt wird die Autoabhängigkeit eines linearen AR(1)-Prozesses und der chaotischen Feigenbaumdynamik bis zu zehn Zeitschritten systematisch untersucht. Dabei wird beim AR(1)-Prozeß ein großer Autoregressionskoeffizient von .8 verwendet, um einen weiten Bereich von Autokorrelationen bei zehn Verzögerungen abzudecken.

1. Der AR(1)-Prozeß
   
   $$X_{t}= .8\,\,X_{t-1}+\eta_{t}$$
   
   
   hat die theoretische Autokorrelationsfunktion
   
   $$r_{\tau}=.8^{\tau}$$
   
   
   In Tabelle 1 sind nun alle Zusammenhangsmaße gegen die Zeitverschiebung bis zu zehn Zeitschritten eingetragen. Die Zusammenhänge sind alle mindestens signifikant. Für Zeitverschiebungen bis drei und ab neun ist die Kontingenz signifikant größer als der Pearson-Koeffizient und damit zu groß. Dies hat zur Folge, daß man einen nichtlinearen Zusammenhang vermuten könnte, der nicht vorhanden ist. Auch der Pearson-Koeffizient überschätzt die Autokorrelation in diesem Beispiel, jedoch liegt der wahre Autokorrelationskoeffizient in allen zehn Fällen innerhalb des geschätzten 90 % Konfidenzintervalls. Der Spearman-Koeffizient ist etwa gleich dem Pearson-Koeffizient, der Kendall-Koeffizient wie üblich etwas kleiner.
   
   

   Tabelle: Verschiedene Autokorrelationsmaße beim AR(1)-Prozeß

   $\tau$	Pearson	Kontingenz	Pearson	Spearman	Kendall
   	theor.		beob.
   1	.800	.856	.818	.802	.607
   2	.640	.745	.681	.679	.489
   3	.512	.636	.569	.568	.400
   4	.410	.514	.480	.474	.324
   5	.328	.454	.379	.387	.258
   6	.262	.376	.323	.336	.225
   7	.210	.329	.259	.269	.181
   8	.168	.291	.222	.234	.159
   9	.134	.316	.188	.209	.144
   10	.107	.321	.133	.152	.103

   
   
2. Die Feigenbaumdynamik Die Feigenbaumdynamik folgt der Abbildung
   
   $$X_{t}= a\,\,X_{t-1} (1-X_{t-1}).$$
   
   
   Sie ist damit eine quadratische autoregressive Abbildung. Tabelle 2 gibt die Autokorrelationsmaße für die ersten zehn Zeitverschiebungen dieses nichtlinearen Prozesses für den Fall $a=4$ (voll entwickeltes Chaos) an. Der $\chi^{2}$-Test sieht bis zur Zeitverschiebung $\tau =4$ einen höchst signifikanten Zusammenhang. Ab $\tau =7$ findet er keinen signifikanten Zusammenhang mehr. Der Kontingenzkoeffizient wird mit zunehmendem $\tau$ immer kleiner, bleibt aber bis $\tau =9$ hoch signifikant, während alle anderen Maße nicht signifikant von null unterscheidbar sind. Hier wird also die nichtlineare Struktur richtig und hoch signifikant erkannt.
   
   

   Tabelle: Verschiedene Autokorrelationsmaße beim Feigenbaumprozeß

   $\tau$	Kontingenz	Pearson	Spearman	Kendall
   1	.929	-.010	-.012	-.012
   2	.670	.075	.046	.021
   3	.432	-.084	-.083	-.058
   4	.365	.095	.096	.071
   5	.280	.050	.059	.035
   6	.342	-.031	-.033	-.021
   7	.263	-.069	-.077	-.051
   8	.247	.061	.062	.043
   9	.246	-.066	-.060	-.040
   10	.220	-.019	.000	.000