Erste Experimente

• Zeitreihe:
  $$\begin{eqnarray*} X_{t} = & \eta_{t}\\ Y_{t} = & \eta_{t}^{2} \end{eqnarray*}$$
  
  
  
  
  
  $X_{t}$ und $Y_{t}$ sind weder linear noch monoton voneinander abhängig, d.h. im Idealfall müsste der $\chi^{2}$-Test den Zusammenhang sehen, die Kontingenz $R_{I}$ müßte eins sein und damit signifikant und die anderen Maße müßten unsignifikant klein geschätzt werden. Es wurden folgende Werte geschätzt:

  Koeffizient	Wert	Signifikanz
  $\chi^{2}$-Abhängigkeit		1.0
  Kontingenz	.92	1.0
  Pearson	-.04	.52
  Spearman	-.03	.34
  Kendall	-.00	.09

  Wie die Tabelle zeigt, wird ein ausgeprägter signifikanter Zusammenhang gefunden, der weder linear noch monoton ist. (Das Streudiagramm läßt diesen klar erkennen.)
• Was ist, wenn der Zusammenhang verrauscht ist?
  $$\begin{eqnarray*} X_{t} = & \eta_{t}\\ Y_{t} = & \eta_{t}^{2}+ .4 \varepsilon_{t} \end{eqnarray*}$$
  
  
  
  
  

  Koeffizient	Wert	Signifikanz
  $\chi^{2}$-Abhängigkeit		1.0
  Kontingenz	.81	1.0
  Pearson	-.05	.66
  Spearman	-.06	.67
  Kendall	-.05	.80

  Trotz des verrauschten Zusammenhangs kommt das gleiche klar interpretierbare Bild heraus. Es gibt sicher einen Zusammenhang, der sicher nicht linear und nicht monoton ist.
• Nun ein Beispiel einer monotonen Abhängigkeit:
  $$\begin{eqnarray*} X_{t} = & \eta_{t}\\ Y_{t} = & \eta_{t}^{3} \end{eqnarray*}$$
  
  
  
  
  

  Koeffizient	Wert	Signifikanz
  $\chi^{2}$-Abhängigkeit		1.0
  Kontingenz	.82	1.0
  Pearson	.82	1.0
  Spearman	1.0	1.0
  Kendall	1.0	1.0

  Da der Zusammenhang deterministisch monoton ist sind die Koeffizienten, die einen solchen Zusammenhang suchen, gleich eins. Sowohl der Pearsonkoeffizient als auch die Kontingenz sind kleiner. Aber alle Maße detektieren einen stochastischen Zusammenhang (der in diesem, wie im ersten Beispiel deterministisch ist).
• Das Gleiche verrauscht:
  $$\begin{eqnarray*} X_{t} = & \eta_{t}\\ Y_{t} = & \eta_{t}^{3}+ .4\, \varepsilon_{t} \end{eqnarray*}$$
  
  
  
  
  

  Koeffizient	Wert	Signifikanz
  $\chi^{2}$-Abhängigkeit		1.0
  Kontingenz	.83	1.0
  Pearson	.81	1.0
  Spearman	.85	1.0
  Kendall	.71	1.0

  Auch hier wird eindeutig ein Zusammenhang gesehen. Nun ist einer der Koeffizienten monotoner Zusammenhänge größer als der Pearsonkoeffizient, der andere kleiner. Die Kontingenz ist nicht signifikant größer als der Pearsonkoeffizient, was ein Blick auf die Konfidenzintervalle des Pearsonkoeffizienten zeigt (s. Anhang), wohl aber der Spearmankoeffizient. Demnach wird eine signifikante monotone Abhängigkeit gefunden. Stärkere als monotone Nichtlinearitäten sind richtiger Weise nicht zu erkennen.
• Da die Abbildung $y=x^{3}$ sehr sensibel auf den Betrag der seltenen Werte des Gauß-Rauschens reagiert, soll noch eine weitere monotone Abbildung betrachtet werden. Die folgende Abbildung unterdrückt die Flügel der Gauß-Verteilung, anstatt sie, wie dies $y=x^{3}$ tut, zu vergrößern.
  $$\begin{eqnarray*} X_{t} = & \eta_{t}\\ Y_{t} = & \tanh(2\,\,\eta_{t})+ .4\, \varepsilon_{t} \end{eqnarray*}$$
  
  
  
  
  

  Koeffizient	Wert	Signifikanz
  $\chi^{2}$-Abhängigkeit		1.0
  Kontingenz	.86	1.0
  Pearson	.81	1.0
  Spearman	.87	1.0
  Kendall	.66	1.0

  Wieder wird der Zusammenhang klar gesehen. Die Kontingenz ist hoch signifikant größer als der Pearsonkoeffizient, der Spearmankoeffizient sogar höchst signifikant. Daß deutet wieder stark auf den monotonen Zusammenhang hin, den der Kendallkoeffizient, der auf jeden Fall rauschanfälliger ist, nicht so stark sieht.
• Nun ein AR(1)-Prozeß als lineares Beispiel:
  
  
  $$X_{t} = .5\,\,X_{t-1}+\eta_{t}\\$$
  
  

  Koeffizient	Wert	Signifikanz
  $\chi^{2}$-Abhängigkeit		1.0
  Kontingenz	.53	1.0
  Pearson	.50	1.0
  Spearman	.47	1.0
  Kendall	.33	1.0

  Wieder wird ein Zusammenhang eindeutig gefunden. Weder der Kendallkoeffizient noch die Kontingenz unterscheiden sich jedoch signifikant vom Pearsonkoeffizient (dessen Knfidenzintervalle sind im Anhang).

Nachdem diese ersten Experimente erfolgreich waren, werden nun ein linearer und ein nichtlinearer autoregressiver Prozess systematischer untersucht.