Welcher Art ist ein möglicher stochastischer Zusammenhang?

Nachdem man nun testen kann, ob und wie stark ein Zusammenhang zwischen zwei Zufallsvariablen ist, stellt sich als nächste Frage, von welcher Art er ist. Dazu werden drei mögliche Arten des Zusammenhangs unterschieden:

1. linear
2. monoton
3. nicht monoton.

Falls der Zusammenhang rein linear ist, sollte der Pearson-Korrelationskoeffizient gleich der informationstheoretischen Kontingenz sein. Theoretisch ist dies möglich, praktisch jedoch quasi unmöglich. Nur wenn in der Praxis die informationstheoretische Kontingenz signifikant größer ist als der Pearson-Korrelationskoeffizient kann man mit einer bestimmten Irrtumswahrscheinlichkeit sagen, daß der Zusammenhang nicht linear ist. Die Signifikanz kann man über die Konfidenzintervalle des Korrelationskoeffizienten berechnen. (Die Konfidenzintervalle sollten mit der Fisher-Transformierten berechnet werden [5].) Um monotone aber nicht lineare Zusammenhänge zu sehen, haben Spearman und Kendall Methoden entwickelt [4]. Spearmans Methode basiert darauf Ranglistenplätze zu korrelieren (Pearson-Korrelation der Ranglistenplätze). Das heißt, falls großen Werten in $X$ immer auch große Werte in $Y$ zugeordnet sind, und kleinen Werten in $X$ immer auch kleine Werte in $Y$, dann ist der Spearmankoeffizient eins, sonst geringer. Falls größeren $X$-Werten kleinere $Y$-Werte zugeordnet sind, ist der Koeffizient negativ. Auch für den Spearman-Koeffizienten $r_{s}$ kann die Signifikanz getestet werden. Und zwar ist die Größe $t_{s}$ mit

$$t_{s}= r_{s} \sqrt{\frac{n-2}{1-r_{s}^{2}}}$$

t-verteilt mit $n-2$ Freiheitsgraden. Obwohl die Spearman-Korrelation unabhängig von der Verteilung der Variablen ist, gibt es doch das Problem, das die hohen Rangplätze in die Korrelation wesentlich stärker eingehen als die niedrigen. Um dieses Problem zu umgehen, hat Kendall einen Koeffizienten $\tau$ eingeführt. Dieser Koeffizient berücksichtigt nur die Summe der Vorzeichen des Produkts zwischen $x_{i}-x_{i+j}$ und $y_{i}-y_{i+j}$. Es gehen also nur Rangplatzunterschiede ein, ohne Berücksichtigung deren Größe. Kendall's $\tau$ kann zwischen minus eins und eins normiert werden. Kendall hat auch gezeigt, daß unter der Annahme keines monotonen Zusammenhangs der Wert $\tau=0$ mit der Standardabweichnung

$$s_{\tau}=\frac{4n+10}{9n(n-1)}$$

zu erwarten ist und daß dann $\tau$ annähernd normalverteilt ist. Falls die Variablen nur ordinal skaliert sind, ist der Kendall-Koeffizient dem Spearman-Koeffizient überlegen. Ansonsten neigt er wegen des Informationsverlustes (als Folge der ausschießlichen Berücksichtigung der Vorzeichen) dazu, einen Zusammenhang zu unterschätzen. Falls also aus dem Unabhängigkeitstest folgt, daß sehr wahrscheinlich ein Zusammenhang vorliegt, dessen Größe man aus der informationstheoretischen Kontingenz bekommt, und alle drei Korrelationskoeffizienten ununterscheidbar davon sind, handelt es sich um einen linearen Zusammenhang. Falls der Pearsonkoeffizient signifikant kleiner ist als die informationstheoretische Kontingenz, nicht aber der Spearman, bzw. Kendall-Koeffizient, kann man von einem monotonen Zusammenhang ausgehen. Sind aber alle Korrelationskoeffizienten kleiner als die informationstheoretische Kontingenz folgt daraus, daß ein nicht-linearer und nicht monotoner Zusammenhang vorliegt. Dann hilft meiner Meinung nach nur ein Blick auf das Scatterdiagramm weiter, auf dem man vielleicht die Form des Zusammenhangs sehen kann.