Wie erkennt man stochastische Abhängigkeit?

Um stochastische Abhängigkeit zu erkennen, muß man zunächst die Hypothese stochastischer Unabhängigkeit aufstellen und dann testen, ob man diese Hypothese auf hohem Niveau ablehnen kann [2]. Dazu definiert man zuerst die Nullhypothese, nämlich daß die zwei Zufallsvariablen $X$ und $Y$ stochastisch unabhängig sind. Wenn dem so ist, muß für die bedingten Wahrscheinlichkeiten $p(x\vert y)$ und $p(y\vert x)$ gelten:

$$\begin{array}{ll} p(x\vert y) & = p(x)\\ [1ex] p(y\vert x) & = p(y)\\ \end{array}$$

also auch

$$p(x,y) = p(x)\, p(y).$$ (4.4)

Diese Wahrscheinlichkeitsdichten sind nicht bekannt, können aber geschätzt werden. Dies geschieht durch Klasseneinteilung und die Kontingenztafel. Teilen wir also zunächst allgemein die Variable $X$ in $M$ Klassen und die Variable $Y$ in $R$ Klassen ein. Diese Einteilung sollte so gewählt sein, daß in jeder Klasse mindestens 5 Werte liegen [14]. Die Klassen müssen aber auf jeden Fall disjunkt sein. Die Wahrscheinlichkeiten aus Gleichung (4.4) können nun über die absoluten Häufigkeiten $H$ dieser zweidimensionalen Klasseneinteilung bestimmt werden. Es wird also geschätzt:

$$\left. \begin{array}{ll} p(x\in x_{m}) & \approx \frac{H_... ...\right\} \mbox{, f\uml {u}r }m=1,...,M \mbox{ und }r=1,...,R.$$

Falls die Nullhypothese (d.h. Glg. (4.4)) richtig ist, dann ist die Antwort auf die Frage wieviel der insgesamt $n$ Realisierungen in der Klasse $m,r$ liegen, durch ein Bernoulli-Experiment gegeben. $z_{m,r}(k,n)$ ist dann die Zufallsvariable, die angibt, wie wahrscheinlich (unter der Bedingung der Nullhypothese) $k$ von $n$ Realisierungen in der Klasse $m,r$ liegen. Diese Variable ist binomial-verteilt mit dem Erwartungswert $E_{m,r}$:

$$\begin{array}{ll} E_{m,r} & = n\,p(x\in x_{m},y\in y_{r})\... ...x{, f\uml {u}r }m=1,...,M \mbox{ und }r=1,...,R. \end{array}$$

Für die zugehörige Varianz $D_{m,r}^{2}$ gilt dann:

$$\begin{array}{ll} D_{m,r}^{2} & = n\,p(x\in x_{m},y\in y_{... ...x{, f\uml {u}r }m=1,...,M \mbox{ und }r=1,...,R. \end{array}$$

Die normierte Variable von $z_{m,r}(k,n)$ ist dann für große $n$ näherungsweise normalverteilt, d.h.

$$\frac{z_{m,r}(k,n)-E_{m,r}}{D_{m,r}}=N(0,1).$$

Damit ist die Summe der Quadrate dieser Normierten von $z_{m,r}(k,n)$ eine $\chi^{2}$-verteilte Variable:

$$\chi^{2}= n\sum_{m=1}^{M}\sum_{r=1}^{R} \frac{\left(z_{m,r}(k,n)-\frac{H_{m}\,H_{r}}{n}\right)^{2}}{H_{m}\,H_{r}}$$ (4.5)

Diese $\chi^{2}$-verteilte Zufallsvariable hat die folgenden Freiheitsgrade. Zunächst gibt es $M\cdot R$ Klassen, was $M\cdot R -1$ Freiheitsgrade ergibt. Die Anzahl der Freiheiten verringert sich jedoch um $M-1+R-1$, da die Wahrscheinlichkeiten $p(x\in x_{m})$ und $p(y\in y_{r})$ jeweils bis auf einen Wert (der sich ergibt, weil die Summe $1$ sein muß) geschätzt werden mußten. Damit ist der Freiheitsgrad der $\chi^{2}$-Verteilung $\Phi$ gegeben durch:

$$\Phi =M\cdot R -1 - (M+R-2)= (M-1)(R-1)$$

Nun kann man mit Hilfe von Gleichung (4.5) testen, wie wahrscheinlich die vorliegende Realisation unter der Annahme der Nullhypothese ist. Dazu muß man nur für $z_{m,r}(k,n)$ in Gleichung (4.5) die absolute beobachtete Häufigkeit $H_{m,r}$ einsetzen. Dem damit berechneten Wert $\chi_{ber}^{2}$ kann dann ein bestimmtes Signifikanzniveau zugeordnet werden.