Einführung

$\parbox{8cm}{ \small$\cdots$\ \uml {o}ffneten sich die Schleusen de... ...age und N\uml {a}chte lang sollte es in Str\uml {o}men regnen.\footnotemark }$




$\parbox{8cm}{ In den n\uml {a}chsten sieben Jahren wird in ganz \um... ...{U}berflu\ss{} herrschen. Aber dann kommen sieben Hungerjahre.\footnotemark }$




Die beiden vorangestellten Zitate belegen, daß die Zeitskalen meteorologischer Phänomene die Menschen schon zu biblischen Zeiten beschäftigt haben. Benoît Mandelbrot erkennt in der alttestamentarischen Geschichte von Noah eine Parabel über die Ungleichmäßigkeit der Niederschläge im mittleren Osten. Die Geschichte von Joseph wiederum sieht er als eine Parabel über die Tendenz, daß sich nasse und trockene Jahre zu Regen- und Dürreperioden vereinen [10]. Er gab diesen Effekten die Namen Noah-Effekt und Joseph-Effekt. In einer Verallgemeinerung dessen könnte man sich vorstellen, daß feuchtere und trockenere Jahrtausende, feuchtere und trockenere Jahrhunderte beinhalten, die wiederum aus feuchteren und trockeneren Jahrzehnten bestehen, usw. über womöglich weitere Größenordnungen. Zusammengefaßt könnte man das ausdrücken durch

$$X_{t}= \sum\limits_{n=0}^{\infty} A_{n}\,sin\left(2\,\pi\,t\,10^{n}\right),$$ (1)

was einer Weierstraßschen Sinusfunktion sehr ähnlich ist. Dies führt auf Funktionen, die zwar überall stetig, aber nicht differenzierbar sind. Die Dimension ihres Graphen liegt zwischen 1 und 2. Zeitreihen aus Funktionen dieser Art haben Korrelationen über sehr lange Zeiträume. Sie werden als Realisationen von Prozessen mit langem Gedächtnis angesehen. Die Korrelationen können allerdings sehr schwach und somit in endlichen verrauschten Zeitreihen kaum oder nicht detektierbar sein. Schließlich steht den obigen Zitaten die Erfahrung der Meteorologen gegenüber, daß monatliche Niederschlagssummen zeitlich unkorreliert sind. Trotzdem wurden Zeitreihen, die aus Prozessen mit langem Gedächtnis stammen, zuerst in den Geowissenschaften gefunden, wo Untersuchungen der Zeitreihe der Minima des Nilwasserstandes zeigten, daß diese als eine Realisation eines bestimmten Prozesses mit langem Gedächtnis angesehen werden kann (s. [15]). Neuere Untersuchungen ([8], [7]) legen aber die Vermutung nahe, daß auch beobachtete Tagesmittelwerte der bodennahen Lufttemperatur als Realisation von Prozessen mit langem Gedächtnis angesehen werden können. Um die Konsequenzen dessen abschätzen zu können, ist es notwendig sich mit Prozessen mit langem Gedächtnis tiefer auseinanderzusetzen. Deshalb sollen in dieser Arbeit einige Grundlagen zu diesem Thema bereitgestellt werden. Dazu wird im nächsten Abschnitt zunächst der Unterschied zwischen Prozessen mit langem und solchen mit kurzem Gedächtnis an 2 bekannten Beispielen vorgestellt. In Abschnitt 3 wird eine Definition des Prozesses mit langem Gedächtnis gegeben und der Zusammenhang zu ARMA-Prozessen gezeigt. Der einfachste Vertreter der Prozesse mit langem Gedächtnis wird im darauffolgenden Abschnitt 4 ausführlicher besprochen. In Abschnitt 5 wird die Namensgebung für unterschiedliche Zufallsrauschen eingeführt, bevor in Abschnitt 6 verschiedene Maße für Prozesse mit langem Gedächtnis vorgestellt werden. Abschnitt 7 gilt der Modellierung von Prozessen mit langem Gedächtnis. Im letzten Abschnitt werden die vorgestellten Maße für Prozesse mit langem Gedächtnis auf 3 künstlich erzeugte Zeitreihen und 3 Beobachtungszeitreihen angewendet.