Modellierung von Prozessen mit langem Gedächtnis

Eine Näherung einer Realisation eines FIWN-Prozesses kann mit Hilfe der AR($\infty)$- oder MA($\infty$)-Darstellung des fraktionellen Integrierens von weißem Rauschen erzeugt werden. Dies ist sehr aufwendig, so daß ich eine Erzeugung mit Hilfe von Surrogat-Daten bevorzugen würde. Dies ist z.B. mit der Weierstraßschen Sinusfunktion

$$W(t)=\frac{1}{\sqrt{1-\omega^{2}}}\,\sum\limits_{n=0}^{\infty} \sin\left( 2\,\pi\,t\,b^{n}\right)\,\omega^{n}$$ (52)

möglich. Diese Funktion erzeugt bei $f=b^{n}$ eine Spektrallinie mit $S(f)=\frac{\omega^{2n}}{\sqrt{1-\omega^{2}}}$. Mit $b>1$, $\omega=b^{-H}$ und $0< H < 1$ folgt für das Spektrum an den Spektrallinien

$$S(f) \sim \omega^{2n} = b^{-2nH} = f^{-2H}.$$ (53)

Man beachte, daß das kumulative kontinuierliche Spektrum eines fraktionell integrierten Prozesses mit $S(f)\sim f^{-2H-1}$ die Form $S_{\mbox{kum.}}\sim f^{-2H}$ hat. Eine andere Möglichkeit zumindest einen Prozeß $Z_{t}$ mit $\frac{1}{f}$-Rauschen zu erzeugen (s. [1]), liegt darin, die Summe über $J$ unabhängige AR(1)-Prozesse $X_{j,t}$ zu bilden, d.h. es gelte

$$Z_{t} = \sum\limits_{j=1}^{J} X_{j,t}$$ (54)

und

$$X_{j,t}= \alpha_{j}\,X_{j,t-1} + \varepsilon_{j,t}.$$ (55)

Die $\varepsilon_{j,t}$ sollen dabei unabhängige WN-Prozesse sein, die der Einfachheit halber um null zentriert sind und jeweils die Varianz $(1-\alpha_{j}^{2})$ haben. Dann gilt

$$\sigma^{2}(Z_{t}) = \sum\limits_{j=1}^{J} \sigma_{j}^{2}$$ (56)

und

$$\rho_{\tau}(Z_{t}) = \sum\limits_{j=1}^{J} \alpha_{j}^{\tau}.$$ (57)

Um die Gesamtvarianz in Grenzen zu halten, kann man einfach $\sigma_{j}^{2}=c/J$ annehmen. Unterstellt man weiter, daß die Koeffizienten $\alpha_{j}$ im Intervall (0,1) ungefähr gleich-verteilt sind, so gilt für die Autokorrelationsfunktion approximativ

$$\rho_{\tau}(Z_{t}) = \sum\limits_{j=1}^{J} \left(\frac{j}{J... ...\approx\,\int\limits_{0}^{1} u^{\tau}\,dt = \frac{c}{\tau+1}.$$ (58)

Da $\tau^{-1}$ nicht absolut summierbar ist, ist es auch $\rho_{\tau}(Z_{t})$ nicht. Damit ist gezeigt, daß $Z_{t}$ ein Prozeß mit langem Gedächtnis ist. Dieser ist erzeugt worden, aus der endlichen Summe von Prozessen, deren Autokorrelationsfunktion mit $\alpha_{j}^{\tau}$ ging, also aus Prozessen mit kurzem Gedächtnis.