Zusammenhänge zwischen den Maßen

Abgesehen von Verwirrungen bei der Namensgebung gibt es zwischen den vorgestellten Maßen Zusammenhänge, die aber z.T. nur in bestimmten Wertebereichen eindeutig sind. Man muß deshalb aufpassen, wenn man nur ein Maß anwendet, und sich bewußt machen, wieviel Aussagekraft es im entsprechenden Fall besitzt. Vorangestellt sei hier, daß $C$ ein Schätzer für $H$ und $J$ ein Schätzer für $H_{I}$ ist. Verwirrungen treten auf, weil einige Autoren nicht eindeutig zwischen $H$ und $H_{I}$ unterscheiden. Beides findet man unter dem Namen Hurst-Exponent in der Literatur [12] [10]. Als Maß der Dinge verwenden wir den Exponenten $d$ der Integration eines fraktionell integrierten Prozesses. Für die Zeitreihenanalyse sind dann vier Fälle interessant:

1. Die Zeitreihe ist stationär und ohne Gedächtnis ($d=0$).
2. Die Zeitreihe ist stationär mit kurzem Gedächtnis ($d=0$).
3. Die Zeitreihe ist stationär mit langem Gedächtnis ($0<d<.5$).
4. Die Zeitreihe ist instationär mit langem Gedächtnis ($d>.5$).

Nicht alle Maße tragen in allen vier Fällen Information. Deshalb sollen hier für jeden Fall alle Maße und deren Zusammenhänge angesprochen werden.

zu 1.)

Die Zeitreihe ist stationär und ohne Gedächtnis ($d=0$).
In diesem Fall handelt es sich um weißes Rauschen. Das Spektrum ist konstant, die Autokorrelation ist 0 für alle Verschiebungen, die Strukturfunktion ist 0 und die Strukturfunktion der integrierten Reihe .5.

zu 2.)

Die Zeitreihe ist stationär mit kurzem Gedächtnis ($d=0$).
In diesem Fall handelt es sich um ein (beliebiges) stationäres ARMA-Rauschen. Das Spektrum geht für große Perioden gegen eine Konstante. Die Autokorrelationsfunktion geht gegen 0. Die Strukturfunktion ist 0 und die Strukturfunktion der integrierten Reihe ist .5.

zu 3.)

Die Zeitreihe ist stationär mit langem Gedächtnis ($0<d<.5$).
In diesem Fall handelt es sich um ein fraktionell integriertes Rauschen mit den Eigenschaften $H=0$ und

$$\begin{array}{rclll} S(f) & \sim & f^{-\beta} & \mbox{mit}... ...}) & \sim & j^{H_{I}} & \mbox{mit} & H_{I}=d+.5. \end{array}$$ (50)

zu 4.)

Die Zeitreihe ist instationär mit langem Gedächtnis ($.5<d<1.5$).
Bei instationären Zeitreihen kann man aus der berechneten Autokorrelation keine Schlüsse ziehen. Für die anderen Größen gilt

$$\begin{array}{rclll} S(f) & \sim & f^{-\beta} & \mbox{mit}... ...x{mit} & H=d-.5,\\ D_{j}(Y^{*}) & \sim & 1 & & \end{array}$$ (51)