Cantor-Staub-Methode

Eine Zeitreihe, für die

$$x(t) \doteq h^{-\alpha} \,x(h\,t)$$ (46)

gilt, heißt skaleninvariant⁶. Dieser Zusammenhang bedeutet, daß ein vergrößerter Ausschnitt der Zeitreihe statistisch identisch ist mit der ursprünglichen Zeitreihe. Für die Zeitreihenanalyse bedeutet das, daß Beobachtungen statistischer Eigenschaften auf einer bestimmten Zeitskala durch Skalenzusammenhänge dazu genutzt werden können, etwas über die statistischen Eigenschaften auf nicht beobachteten Skalen auszusagen. Der Begriff statistisch identisch soll durch das Zeichen $\doteq$ repräsentiert sein. Nun kann man sich verallgemeinernd vorstellen, daß eine solche Skaleninvarianz bis zu so kleinen Skalen gilt, daß man $x(t)$ als kontinuierliche Funktion in der Zeit interpretieren darf und trotzdem noch auf allen Skalen Gleichung (46) gilt. Dann kann die kontinuierliche Funktion in der Zeit eine fraktale Dimension haben. Diese Dimension muß zwischen eins (der Linie) und 2 (der Fläche) liegen. Sie ist nach Mandelbrot [10] gegeben durch

$$D = 2 - H.$$ (47)

Je kleiner $H$ also ist, d.h. je stärker die Funktion dazu neigt, auf und ab zuschwingen, desto mehr Raum füllt sie aus. Eine solche Funktion wird auch beliebige Niveaulinien öfter schneiden, als eine Funktion mit größerem $H$. Für die Dimension einer Niveaumenge gilt dann

$$D_{N} = 1-H.$$ (48)

Für $H=1$ ist die Zeitreihe keine diskrete Darstellung eines Fraktals, und die kontinuierliche Zeitfunktion ist eindimensional, während sich die Niveaumenge auf Punkte reduziert. Die Dimension einer Niveaumenge einer skaleninvarianten Zeitreihe kann man wiederum über einen Box-Counting-Algorithmus berechnen, der im eindimensionalen Fall einer Niveaulinie eine besonders einfache Form annimmt und in der Arbeit von Mazzarella [11] als Cantor-Staub-Methode (Cantor Dust Method) bezeichnet wird. Bei der Anwendung dieser Methode wählt man zunächst eine Niveauline aus (z.B. das $2\sigma$-Niveau oder den Mittelwert). Dann teilt man die gesammte Zeitreihe in Segmente der Länge $t=T/n$ für $n=1,2,3,\cdots$ ein, und berechnet jeweils den Anteil $r$ der Segmente, in denen die Zeitreihe die Niveaulinie kreuzt. Es gilt dann das Skalengesetz

$$r\sim t^{1-D_{N}} \leftrightarrow \log (r)\sim C \log(t), \mbox{ mit } C=1-D_{N}$$ (49)

mit dem $D_{N}$ sehr einfach berechnet werden kann. Falls die Zeitreihe nicht skaleninvariant ist, ist $r$ unabhängig von der Partitionierung, d.h. $\hat{C}=0$. Andernfalls ist $C$ ein Schätzer für $H$.