Fehlende zeitliche Skala

Von Großmann [5] stammt eine sehr einfache Formulierung einer Dynamik mit einem linearen und einem nichtlinearen Term. Sie ist gegeben durch

$$\frac{d\,x}{d\,t} = -a\,x-b\,x^{3},\,\,\,\mbox{ mit} a,b>0.$$ (61)

Für den Fall $b=0$ repräsentiert diese Gleichung einen linearen Speicher mit einer Relaxationszeit $\tau=1/a$. Die zeitdiskrete Betrachtung dieses Systems, wenn es mit Gaußschem weißen Rauschen angetrieben wird, führt dann zu einem AR(1)-Prozeß und somit zu einer exponentiell abklingenden Autokorrelationsfunktion. Setzt man demhingegen $a=0$, so erhält man ein rein nichtlineares System, mit der speziellen Lösung für einen gegebenen Anfangswert $x_{0}$

$$x(t)=x_{0}\,\frac{1}{\sqrt{1+2\,b\,x_{0}^{2}\,t}}.$$ (62)

Für nicht zu kleine Zeiten konvergiert diese Lösung gegen die skaleninvariante Lösung $x(t)=(2\,b\,t)^{-.5}$. Es gibt in diesem Fall keine typische Zeitskala, wie es die Relaxationszeit im rein linearen Fall war. Wird die Zeit um den Faktor $\lambda$ gedehnt, erhält man die gleiche Lösung mit einer um $\lambda^{-.5}$ gestauchten Amplitude. Leider ist es mir nicht gelungen, die Autokorrelationsfunktion des mit Gaußschem weißen Rauschen angetriebenen vollständigen Systems anzugeben. Jedoch wird die Lösung des Anfangswertproblems für lange Zeiten immer vom exponentiellen Abklingen dominiert, wenn der lineare Term nicht vernachlässigt wird. Es ist also möglich, daß skaleninvarianten Verhaltens in der Autokorrelationsfunktion sichtbar wird, obwohl jeder einzelne Anstoß für nicht zu kurze Zeiten exponentiell abklingt. Eine ausführlichere Diskussion von Gleichung (61) findet man z.B. in [9].