Definition

In der Theorie stationärer Prozesse beschäftigt man sich gerne mit den (relativ) einfachen linearen ARMA-Prozessen. Diese haben eine Autokorrelationsfunktion, die für sehr große Zeitverschiebungen gegen null geht, was gleichbedeutend damit ist, daß das Spektrum für sehr große Perioden (kleine Frequenzen) gegen eine Konstante läuft, sich also dem Spektrum des weißen Rauschens (WN) nähert. Der Prozeß kann sich demnach immer nur an einen bestimmten Abschnitt seiner Vergangenheit erinnern. Daher gibt es für ARMA-Prozesse immer einen Zeithorizont, über den hinaus sie auch nicht vorhersagbar sind. Auch diese Information ist aus der Autokorrelationsfunktion zu entnehmen. Die Autokorrelationsfunktion $\rho_{\tau}$ ist für ARMA-Prozesse absolut summierbar [14], d.h. es gilt $\sum\limits_{\tau=0}^{\infty}\left\vert \rho_{\tau}\right\vert<\infty$. Prozesse mit dieser Eigenschaft heißen Prozesse mit kurzem Gedächtnis. Nun gibt es aber auch Prozesse mit einem langen Gedächtnis, deren Autokorrelationsfunktion nicht absolut summierbar ist. Für Prozesse ohne Gedächtnis verschwindet die Autokorrelationsfunktion für $\tau\neq 0$. Man kann also für autokovarianzstationäre Prozesse definieren (s. [14]):

Prozeß mit langem Gedächtnis :	$\sum\limits_{\tau=0}^{\infty}\left\vert \rho_{\tau}\right\vert=\infty$
Prozeß mit kurzem Gedächtnis :	$\sum\limits_{\tau=0}^{\infty}\left\vert \rho_{\tau}\right\vert<\infty$
Prozeß ohne Gedächtnis :	$\sum\limits_{\tau=0}^{\infty}\left\vert \rho_{\tau}\right\vert=1$, d.h. $\rho_{\tau}=0$ für $\tau\neq 0$.

Kennt man die Autokorrelationsfunktion und ist man in der Lage die Konvergenz von Reihen zu testen, so kann man entscheiden, ob der Prozeß, aus dem die Autokorrelationsfunktion stammt, ein Prozeß mit langem Gedächtnis ist. Für die geometrische Reihe gilt z.B.

$$\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^{k}= \frac{1}{1-x} ,\mbox{ f\uml {u}r } \vert x\vert<1,$$ (4)

woraus folgt, daß jeder Prozeß mit der Autokorrelationsfunktion $\rho_{\tau} \sim \alpha_{1}^{\tau}$ ein Prozeß mit kurzem Gedächtnis ist. Andererseits divergiert z.B. die harmonische Reihe

$$\sum\limits_{k=1}^{\infty} k^{-1} ,$$ (5)

was man zeigen kann, da sie in Partialsummen zerlegbar ist, deren Folge nicht konvergiert. Damit sind Prozesse mit der Autokorrelationsfunktion $\rho_{\tau}\sim \tau^{-1}$ Prozesse mit langem Gedächtnis. Prozesse mit $\rho_{\tau}\sim \tau^{-n}$ und $n\ge 2$ haben wiederum ein kurzes Gedächtnis, was man mit dem Majorantenkriterium zeigen kann (s. z.B. [4]). Wie Prozesse mit langem Gedächtnis aus Prozessen mit kurzem Gedächtnis hervorgehen, ist Inhalt des nächsten Abschnitts.