Zusammenhang zu ARMA-Prozessen

Obwohl Prozesse mit langem Gedächtnis zunächst grundsätzlich anders erscheinen als ARMA-Prozesse, sind sie aus diesen modellierbar. Man kann nämlich zeigen, daß ein ARFIMA-Prozeß, d.h. ein fraktional integrierter ARMA-Prozeß ein Prozeß mit langem Gedächtnis ist. Ein integrierter ARMA-Prozeß ist ein Prozeß, dessen erste Differenz ein ARMA-Prozeß ist, d.h. für den gilt $(1-B) X_{t} = \mbox{ARMA}(p,q)$, mit dem Backshift-Operator $B$. Der einfachste Vertreter dieser Klasse ist das integrierte weiße Rauschen und das ist die Brownsche Bewegung. Als fraktional integrierter ARMA-Prozeß wird nun ein Prozeß ARFIMA(p,d,q) bezeichnet, für den gilt

$$(1-B)^{d} X_{t} = \mbox{ARMA}(p,q).$$ (6)

Die Operation $(1-B)^{d}$ kann für nichtganzzahlige $d>0$ über die Binomialentwicklung

$$(1-B)^{d} = \sum\limits_{u=0}^{\infty} \pi_{u}\,B^{u}$$ (7)

mit $\pi_{0}=1$ und

$$\pi_{u}=\frac{\Gamma(u-d)}{\Gamma(u+1)\,\Gamma(-d)} = \prod\limits_{k=1}^{u} \frac{k-1-d}{k}$$

ausgedrückt werden (s. [14]). Für $-.5<d<.5$ und falls alle Nullstellen des charakteristischen Polynoms des ARMA-Prozesses außerhalb des Einheitskreises liegen, ist der ARFIMA-Prozeß stationär und invertierbar. Er hat dann die MA($\infty$)-Darstellung

$$(1-B)^{-d} = \sum\limits_{u=0}^{\infty} c_{u}\,B^{u}$$ (8)

mit

$$c_{u}=\frac{\Gamma(u+d)}{\Gamma(u+1)\,\Gamma(d)} .$$

Diese Eigenschaft ist extrem wichtig, da sie erlaubt die Operation als linearen stationären Filter zu interpretieren. Dann (nur dann) kann das Spektrum des Filters berechnet werden, was im nächsten Abschnitt geschieht. Das Spektrum ist besonders wichtig für die Analyse von Zeitreihen, da es einfach schätzbar ist.