Spektren

Um das Spektrum eines ARFIMA-Prozesses zu berechnen, nutzt man seine in Gleichung (8) ausgedrückte Eigenschaft, ein linear gefilterter ARMA-Prozeß

$$\mbox{ARFIMA} = (1-B)^{-d} \mbox{ARMA} = \sum\limits_{u} c_{u}\, B^{u}\, \mbox{ARMA}$$ (9)

zu sein. Die Fouriertransformierte eines Filters $\sum\limits_{u} c_{u}\, B^{u}\,$ ist gegeben durch

$$F_{c}(f) = \sum\limits_{u} c_{u}\, \exp(i\,2\,\pi\,u\,f)$$ (10)

und heißt Frequenzantwortfunktion oder Transferfunktion des Filters. Durch diese Funktion ist es möglich, anzugeben, wie das Spektrum des Ausgangssignals $S_{a}(f)$ vom Spektrum des Eingangs $S_{e}(f)$ abhängt, es gilt nämlich die für lineare Filter wichtige Beziehung

$$S_{a}(f) = \left\vert F_{c}(f)\right\vert^{2}\,S_{e}(f).$$ (11)

Damit folgt für das Spektrum eines ARFIMA-Prozesses

$$S_{\mbox{ARFIMA}}(f) =\left\vert F(f)\right\vert^{2}\, S_{\mbox{ARMA}}(f).$$ (12)

Für den Differenzenfilter $1-B$ folgt die Transferfunktion

$$\begin{array}{lcl} F(f) & = & 1-\exp(i\,2\,\pi\,f)\\ [1ex]... ...4}\right)\right] \,2\,\sin\left(\pi\,f\right), \end{array}$$ (13)

deren Betrag gegeben ist durch

$$\vert F(f)\vert = 2\,\sin(\pi\,f).$$ (14)

Damit folgt für das ARFIMA-Spektrum aus Gleichung (12)

$$S_{\mbox{ARFIMA}}(f) =\left[ 2\,\sin(\pi\,f) \right]^{-2d}\, S_{\mbox{ARMA}}(f).$$ (15)

Aus dieser Gleichung kann man entnehmen, daß das ARFIMA-Spektrum für sehr kleine Frequenzen über alle Grenzen wächst, dann nämlich gilt

$$\lim\limits_{f\to 0}\, S_{\mbox{ARFIMA}}(f) =\left( 2\,\pi\,f \right)^{-2d}\, S_{\mbox{ARMA}}(f) \sim f^{-2d} .$$ (16)

Die Proportionalität der letzten Gleichung folgt daraus, daß für kleine $f$ das Spektrum eines jeden ARMA-Prozesses konstant wird. Für die Analyse von Zeitreihen spielt die Frage, ob sie ein $1/f^{-\beta}$-Spektrum haben, eine entscheidende Rolle.