Annahmen

Um von Zeitreihen von Monatsmitteln auf die statistischen Eigenschaften von Zeitreihen von Tagesdaten schließen zu können, gehen wir zunächst von einer allgemeinen zeitkontinuierlichen Formulierung der Variable $x(t)$ aus. Das bedeutet, daß die Untersuchung auf Zeitreihen von Variablen beschränkt ist, die als zeitkontinuierlich aufgefaßt werden können. Beispiele dafür sind der Luftdruck, die Feuchte, die Windgeschwindigkeit und die Tagesmitteltemperatur. Nicht zeitkontinuierliche Variablen, das sind z.B. alle Zeitreihen von Ereignissen, wie Stürme und Hochwasser können mit dieser Herangehensweise nicht untersucht werden. In einem weiteren Schritt wird angenommen, daß die zu untersuchende Variable als Überlagerung von $H$ harmonischen Anteilen $S_{h}(t)$ (z.B. dem mittleren Jahresgang, aber auch andere harmonische Anteile), einer glatten nichtharmonischen Komponente $G(t)$ (z.B. ein linearer oder nichtlinearer Trend und episodische Schwankungen) und einem Rauschen $R(t)$ (dem Wetter) betrachtet werden kann. Es soll also

$$x(t)=\sum\limits_{h=1}^{H} S_{h}(t) + G(t) + R(t)$$ (1)

gelten. Dabei kann jeder harmonische Anteil in der Form

$$S_{h}(t) = A_{h} \sin\left(2\,\pi\,\frac{t}{\tau_{h}}\right) + B_{h} \cos\left(2\,\pi\,\frac{t}{\tau_{h}}\right)$$ (2)

ausgedrückt werden, was einer Schwingung mit der Amplitude $\sqrt{A_{h}^{2}+B_{h}^{2}}$, der Periode $\tau_{h}$ und der Phasenlage $\arctan\frac{A_{h}}{B_{h}}$ entspricht. Das Rauschen kann zunächst die Realisation eines beliebigen stochastischen Prozesses sein. Mittelt man nun diese zeitliche Struktur zu einem beliebigen Zeitpunkt $t_{n}$ über ein darum zentriertes Intervall der Länge $2\,m$, so erhält man formal

$$\overline{x(t_{n})} = \frac{1}{2\,m} \int\limits_{t_{n}-m}^{t_{n}+m} x(t)\, dt$$ (3)

$$= \underbrace{\frac{1}{2\,m} \int\limits_{t_{n}-m}^{t_{n}+m} \left(... ...e{ \frac{1}{2\,m} \int\limits_{t_{n}-m}^{t_{n}+m} R(t)\, dt}_{\overline{R(t)}}.$$ (4)

Man erkennt daraus, daß die Aufteilung der zeitkontinuierlichen Variable $x(t)$ in deterministische Komponenten und Rauschen auch in den Mittelwerten erhalten bleibt, was der bekannten Tatsache entspricht, daß Summation und Mittelung in ihrer Reihenfolge austauschbare Operationen sind. Dies erlaubt es, den Einfluß jeder Komponente einzeln zu untersuchen, um die Ergebnisse am Ende wieder zusammenzufügen. Im folgenden Abschnitt wird daher zunächst der Einfluß der Mittelung auf den harmonischen Anteil beschrieben. Im darauf folgenden Abschnitt wird der Einfluß der Mittelung auf einige mögliche Arten der glatten Komponente analysiert, bevor im Abschnitt 5 der Einfluß der Mittelung auf das Rauschen untersucht wird.