Varianz des Rauschens der Monatsmittel und des Rauschens der Tagesdaten

Um die Varianz des Rauschens in den Monatsmitteln mit der Varianz des Rauschens der Tagesmittelwerte in Verbindung zu bringen, wird nicht von einem zeitkontinuierlichen Rauschen ausgegangen, da dies mit unnötigen und imensen Komplikationen verbunden wäre. Stattdessen wird von einem zeitlich diskreten Rauschen $R_{d}$ in den Tagesdaten ausgegangen, dessen Eigenschaften aus Monatsmitteln rekonstruiert werden sollen. Dabei sind die Tage mit dem Laufindex $d$ durchnummeriert. Der Mittelwert über $N$ Tage ist dann gegeben durch

$$\overline{R}^{N}=\frac{1}{N}\sum\limits_{d=1}^{N} R_{d}.$$ (45)

Für die Varianz des Mittelwertes gilt dann

$$\mbox{var}[\overline{R}^{N}] = \mbox{var}[\frac{1}{N}\sum\limits_{d=1}^{N} R_{d}]$$ (46)

und nach Gleichung (73) weiter

$$\mbox{var}[\overline{R}^{N}] = \frac{1}{N^{2}}\sum\limits... ...u=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N} \mbox{cov}(R_{\tau},R_{j}).$$ (47)

Die Doppelsumme kann nun umsortiert werden zu

$$\sum\limits_{\tau=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N} \mbox{cov}(R_... ...=1}^{N-1}\sum\limits_{l=1}^{N-k} \mbox{cov}(R_{l+k},R_{l}).$$ (48)

Falls $R_{\tau}$ nun ein kovarianzstationäres Zufallsrauschen ist, vereinfacht sich die Kovarianzfunktion $\mbox{cov}(R_{\tau},R_{j})$ zu

$$\mbox{cov}(R_{\tau},R_{j})=\gamma_{\tau-j}.$$ (49)

Die Doppelsumme in Glg. (48) kann dann unter Nutzung von $\gamma_{\tau}=\gamma_{-\tau}$ vereinfacht werden zu

$$\sum\limits_{\tau=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N} \mbox{cov}(R_... ...ma_{0}+ 2 \sum\limits_{\tau=1}^{N-1} (N-\tau) \gamma_{\tau}.$$ (50)

Setzt man dies nun in Glg. (47) ein, so erhält man

$$\fbox{$\displaystyle \mbox{var}[\overline{R}^{N}] = \frac... ...ts_{\tau=1}^{N-1} \frac{N-\tau}{N}\,\gamma_{\tau}\right).$}$$ (51)

Diese Gleichung gibt nun den Zusammenhang zwischen der Varianz der Tagesdaten $\sigma_{d}^{2}$ und der Varianz der Monatsmittel $\mbox{var}[\overline{R}^{N}]$ an. Wesentlich ist dabei, daß man die Autokovarianzfunktion des Rauschens der Tagesdaten kennen muß, um von der Varianz der Monatsmittel auf die Varianz der Tagesmittel zu schließen. Die Stärke des Einfusses der Autokovarianzfunktion der Tagesdaten auf den Zusammenhang soll im Folgenden an einem Beispiel verdeutlicht werden. Das Rauschen der Tagesdaten sei durch einen AR(1)-Prozeß, also durch die Gleichung

$$R_{d}=a\,R_{d-1} + \varepsilon_{d}$$ (52)

mit dem Autoregressionskoeffizienten $a$ und dem Gaußschen weißen Rauschen $\varepsilon$ mit der Varianz $\sigma_{\varepsilon}^{2}$ beschreibbar. Ein Monat habe genau $N=30$ Tage. Dann gilt für die Autokovarianzfunktion des Rauschens der Tagesdaten bei der Zeitverschiebung $\tau$

$$\gamma_{\tau}=\frac{a^{\tau}}{1-a^{2}}\,\sigma_{\varepsilon}^{2}.$$ (53)

Die Varianz der Tagesdaten ist dann $\sigma_{d}^{2}=\gamma_{0}=\frac{\sigma_{\varepsilon}^{2}}{1-a^{2}}$. Bezeichnet man die Varianz der Monatsdaten mit $\sigma_{M}^{2}$, so folgt durch Einsetzen in Gleichung (51)

$$\begin{array}{rcl} \sigma_{M}^{2} & = & \frac{1}{N}\left... ...=1}^{N-1} \frac{N-\tau}{N}\,a^{\tau}\right\}. \end{array}$$ (54)

Damit folgt für die Standardabweichung des Rauschens der Tagesdaten als Funktion der Standardabweichung des Rauschens der Monatsdaten

$$\sigma_{d} = \sqrt{30} \,\sigma_{M} \left[ 1 +2 \,\sum\lim... ...}^{29} \frac{30-\tau}{30}\,a^{\tau} \right]^{\frac{-1}{2}}.$$ (55)

Für Autoregressionskoeffizienten zwischen 0 und 1 ist $\sigma_{R}$ als Funktion von $\sigma_{M}$ in Abbildung 2 dargestellt. Im Grenzfall $a=0$ geht der AR(1)-Prozeß in ein weißes Rauschen über und es folgt für die Standardabweichungen der unterschiedlich gemittelten Zeitreihen der Zusammenhang

$$\sigma_{d} =\sqrt{N}\,\sigma_{N}.$$ (56)

Im Grenzfall $a=1$ geht der stationäre AR(1)-Prozeß in den instationären Brownschen Prozeß über. Dann ist die Varianz der Mittelwerte über beliebige Zeiträume gleich der Varianz der ungemittelten Reihe. Dies kann man leicht einsehen, indem man $a=1$ in Gleichung (54) einsetzt. (Man beachte, daß für $a=1$ keine Autokovarianz mehr definiert werden kann, da Glg. (53) dort eine Polstelle hat. Genaugenommen betrachten wir hier also den Grenzfall $a\nearrow 1$.) Dann folgt

$$\begin{array}{rcl} \sigma_{M}^{2} & = & \frac{1}{N} \sig... ...(N-1)}{2}\right\}\\ [1ex] & = & \sigma_{d}^{2}. \end{array}$$ (57)

Abbildung: Abhängigkeit der Standardabweichung des Rauschens der Tagesdaten als Vielfaches der Standardabweichung der Monatsdaten falls die Tagesdaten aus einem AR(1)-Prozeß mit dem Autoregressionskoeffizient $a$ stammen.