Mittelung bei polynomialen Komponenten

Falls die glatte Komponente einem Polynom der Art

$$G(t)=\sum\limits_{i=0}^{I} a_{i}\,t^{i}$$ (36)

entspricht, kann man jeden Summanden einzeln betrachten, da Mittelung und Summation in der Reihenfolge austauschbar sind. Deshalb reicht es aus eine Funktion der Art $f(t)=a\,t^{i}$ zu untersuchen. Dazu muß erneut die Stammfunktion $F(t)= \frac{a}{i+1}\,t^{i+1}$ in Glg. (31) eingesetzt werden. Dies führt zu

$$\overline{x(t_{n})} = \frac{a}{2\,m\,(i+1)} \left((t_{n}+m)^{i+1} -(t_{n}-m)^{i+1} \right).$$ (37)

Allgemein gilt

$$(x+y)^{i} = \sum\limits_{k=0}^{i}{i \choose k} x^{i-k} \,y^{k}$$ (38)

und demnach auch

$$(x-y)^{i} = \sum\limits_{k=0}^{i}{i \choose k} x^{i-k} \,(-y)^{i}.$$ (39)

Dann ist

$$\begin{array}{rcl} (t_{n}+m)^{i+1} -(t_{n}-m)^{i+1} & = & ... ...}}}^{i+1} {i+1 \choose k} t_{n}^{i+1-k}\,m^{k}. \end{array}$$ (40)

Der Verlauf der Mittelwerte hat demnach die Form

$$\overline{G(t_{n})} = \frac{a}{m\,(i+1)}\, \sum\limits_{{k... ...ox{ungerade}}}^{i+1} {i+1 \choose k} t_{n}^{i+1-k}\,m^{k}.$$ (41)

Man kann durch Einsetzen leicht zeigen, daß für $i=1$ die bereits angegebene Lösung für den Fall des linearen Trends entsteht. Für $i=2$ (also eine parabelförmige Komponente) hat die Summe in Glg. (41) zwei Komponenten. Durch Einsetzen findet man

$$\overline{G(t_{n})} = a \,t_{n}^{2} + \frac{a}{3} m^{2} =... ...frac{a}{3} m^{2} = \left(1 + \,\frac{m^{2}}{3\,t_{n}}\right).$$ (42)

Dabei stellt der Term ganz rechts in der Klammer den Fehler dar. Dieser ist zu vernachlässigen, falls $\frac{m^{2}}{3\,t_{n}^{2}}\ll 1$ ist. Bei Mittelungsintervallen von einem Monat, hat man z.B. nach zwei Monaten nur noch einen Fehler von $1/12$. Für $G(t) = a t^{3}$ erhält man aus Glg. (41)

$$\overline{G(t_{n})} = a \,t_{n}^{3} + a \,t_{n}\,m^{2} = G... ...m^{2} = G(t_{n})\, \left(1 + \frac{m^{2}}{t_{n}^{2}}\right).$$ (43)

Für $\frac{m^{2}}{t_{n}^{2}}\ll 1$ ist auch hier der Fehler vernachlässigbar. Als letztes Beispiel sei noch der Fall $G(t)= a\,t^{4}$ genannt, für den aus Glg. (41) folgt

$$\overline{G(t_{n})} = a\,t_{n}^{4} +2\, a\,t_{n}^{2}\,m^{2}... ...\,\frac{m^{2}}{t_{n}^{2}}+ \frac{m^{4}}{5\,t_{n}^{4}}\right).$$ (44)

Man sieht, wie bei den anderen untersuchten Termen, daß für $t_{n}>m$ der Fehler sehr schnell gegen null geht. Diese Eigenschaft erlaubt es i.a. beliebige polynomiale Komponenten anhand von Mittelwerten zu untersuchen und die gefundenen Ergebnisse ohne explizite Korrektur auf die zeitkontinuierliche Variable zu übertragen. Demzufolge können auch in Monatsmitteln gefundene polynomiale Komponenten auf Tagesdaten übertragen werden.