Mittelung bei exponentiellem Trend

Geht man davon aus, daß die glatte Komponente eine Exponentialfunktion der Art $G(t) = f(t) = a\,\exp(b\,t) + c$ ist, so kann der konstante Term $c$ vernachlässigt werden, da bei der Untersuchung des linearen Trends schon gezeigt wurde, daß er von der Mittelung unbeeinflußt bleibt. Dann folgt die Stammfunktion $F(t)=\frac{a}{b}\exp(b\,t)$, die wiederum in Glg. (31) einzusetzen ist. Dies führt zu

$$\begin{array}{rcl} \overline{G(t_{n})} & = & \frac{1}{2\... ...{e^{b\,m} - e^{-b\,m}}{2\,m\,b} \neq G(t_{n}). \end{array}$$ (33)

Demnach wird ein exponentieller Trend in kontinuierlicher Zeit zwar durch einen exponentiellen Trend in den Mittelwerten wiedergegeben, letzterer ist aber um den Faktor $C_{m}=\,\frac{e^{b\,m} - e^{-b\,m}}{2\,m\,b}$ gegenüber dem Original verändert. Je größer das Produkt $b\,m$ ist, desto größer wird der Einfluß der Mittelung. Er ist aber bei der Trendbestimmung aus Mittelwerten immer korrigierbar durch

$$G(t_{n})= \frac{\overline{G(t_{n})}}{C_{m}}.$$ (34)

Falls das Produkt $b\,m$ sehr klein ist, können die Exponentialfunktionen in $C_{m}$ linearisiert werden, was zu

$$\lim\limits_{b\,m\to 0}C_{m} = \frac{1+b\,m-1+b\,m}{2\,b\,m} = 1$$ (35)

führt. In diesem Grenzfall hat die Mittelbildung keinen Einfluß mehr.