ML-Schätzer für $p$

Die Likelihood-Funktion $L(p,x_{1},\cdots,x_{n})$ ist gegeben durch

$$L(p,\vec{x})= \prod\limits_{i=1}^{n}f(x_{i},p) = \prod\limi... ...\,(1-p)^{1-x_{i}} = p^{\sum x_{i}}\,\,(1-p)^{n-\sum x_{i}}.$$ (9)

Für das konkrete Zahlenbeispiel folgt damit $L=p^{7}\,(1-p)^{3}$. Würde man dies maximieren wollen, müßte man die Nullstellen der Ableitung $dL/dp$ suchen. Im konkreten Fall also $dL/dp=7\,p^{6}\,(1-p)^{3} - 3\,p^{7}\,(1-p)^{2} = 0$ lösen. Der Grad des Polynoms, dessen Nullstellen man zu finden hat steigt linear mit der Anzahl der Beobachtungsdaten. Deshalb leitet man auch hier wieder die Loglikelihood-Funktion ab und sucht deren Nullstellen:

$$\begin{array}{rcl} \frac{d\,\ln\,L}{dp} & = & \frac{d}{dp}... ...} - \frac{n-\sum\limits_{i=1}^{n}}{1-p} =0. \end{array}$$ (10)

Die Nullstellen dieser Gleichung lassen sich sehr einfach finden und es folgt

$$\hat{p} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}}{n}.$$ (11)

Für das gewählte Zahlenbeispiel folgt daraus ein Wert von

$$\hat{p}_{ML} = \frac{7}{10}.$$ (12)