Test auf White-Noise

Hier werden zwei Tests auf White-Noise vorgestellt. Beidesmal besagt die Nullhypothese, daß die Zeitreihe eine Realisierung eines White-Noise-Prozesses ist. Dies ist z.B. sinnvoll bei der Analyse von Residuen. Getestet wird nicht das Periodogramm, sondern das kumulierte Periodogramm, das wie folgt definiert ist:

$$S(r)=\frac{\sum_{k=1}^{r}I(\lambda_{k})}{\sum_{k=1}^{M}I(\lambda_{k})}, \mbox{mit}\,\, r=1,2,...,M$$ (2.8)

wenn $M$ die Anzahl der Fourier-Frequenzen ist, an denen das Periodogramm $I(\lambda_{k})$ aufgenommen wurde. Entsprechend dieser Definition ist $S_{0}=0$ und $S_{M}=1$. Bei einem White-Noise-Prozeß gilt für das kumulierte Periodogramm

$$S_{WN}(r)=\frac{r}{M}.$$ (2.9)

Das ist die Diagonale im Einheitsquadrat. Damit kann die Abweichung von dieser Winkelhalbierenden als Maß für die Unwahrscheinlichkeit von $H_{0}$ (die Stichprobe stammt aus einem White-Noise-Prozeß) verwendet werden. Für die größte Abweichung kann man einen Kolmogoroff-Smirnoff-Test machen: