Ist der höchste Peak im Periodogramm eine Periodizität im weißen Rauschen?

Der Test stammt bereits von Schuster (1898) und wurde von Fisher (1929) exakt bewiesen. Die Zusammenfassung hier bezieht sich auf Schlittgen und Streitberg (1994). Zunächst sucht man den höchsten vorkommenden Wert $I_{max}$ im Spektrum und normiert diesen mit dem Mittelwert:

$$I_{max}^{*}=\frac{I_{max}}{\overline{I}}$$ (2.5)

mit:

$$\overline{I}=\frac{1}{M}\sum_{j=1}^{M}I(\lambda_{j})$$ (2.6)

und $M=$ Anzahl der Fourier-Stützstellen. Nun ist

$$P=(1-e^{-I_{max}^{*}})^{M}$$ (2.7)

die Wahrscheinlichkeit dafür, daß $I_{max}$ nicht durch das unterstellte weiße Rauschen erzeugt ist, d.h. $P$ ist die Wahrscheinlichkeit mit der die Nullhypothese (nämlich das in dem weißen Rauschen keine Periodizität steckt) abgelehnt wird. Es ist dringend zu beachten, daß dieser Test nicht umgekehrt interpretiert werden darf, d.h. nur weil keine signifikante Periodizität gefunden wurde, muß nicht keine da sein. Sind Periodizitäten zwischen zwei Fourier-Stützstellen, so bekommt jede Stützstelle nur einen Teil der Varianz der Periodizität ab. Im Extremfall ist $I_{max}$ demnach nur halb so groß, wie es sein sollte.