Aliasing

Betrachtet man die letzte Spalte von Tabelle 1.1 genauer, so sieht man, daß bei den Frequenzen $\frac{(4+j)}{8}$ das konjugiert Komplexe zu den Werten bei den Frequenzen $\frac{(4-j)}{8}$ steht. Dies ist kein Zufall. Da die Beispielzeitreihe aus 8 Werten besteht, kann die Fourier-Darstellung nicht aus mehr Werten bestehen (da die Fourier-Frequenzen orthogonal sind; hätte jede der 8 Fourier-Komponenten Real- und Imaginärteil, und wären diese unabhängig, ergäbe das 16 Informationen). Man kann nun schließen, daß für Fourier-Frequenzen, die größer sind als $\frac{1}{2}$, keine neue Information ins Spiel kommt. Wie kommt das? Um eine Schwingung abzutasten benötigt man mindestens zwei Meßpunkte pro Periode. Hat man in seiner Zeitreihe nun Schwingungen, die hochfrequenter sind als eine Schwingung pro zwei Meßpunkte, d.h. ($f>\frac{1}{2}$) so wird diese Schwingung zwar registriert, aber deren Frequenz wird mißgedeutet. Diese Frequenzmißdeutung heißt Aliasing. Die Frequenz, die die noch aufgelösten von den unaufgelösten Schwingungen trennt, heißt Nyquist-Frequenz $f_{N}=\frac{1}{2}$. Nun kann die Fourier-Zerlegung nicht zwischen Schwingungen der Frequenz $\frac{(\frac{N}{2}+j)}{N}$ und $\frac{(\frac{N}{2}-j)}{N}$ unterscheiden. Deshalb erhalten beide Frequenzen den gleichen Betrag, sind aber konjugiert komplex. Es ist zu beachten, daß dieses Aliasing nur für Perioden zwischen $1$ und $N$ gilt, denn nur solche werden überhaupt von der Fourier-Zerlegung erfaßt. Was mit Schwingungen bei Perioden kleiner $1$ passiert, wird weiter unten besprochen. Zunächst stellt sich die Frage, welche Schwingung durch die Fourieranalyse auf welche gefaltet wird. Es werden Schwingungen mit Wellenzahlen zwischen $\frac{N}{2}$ und $N$ auf Wellenzahlen kleiner $\frac{N}{2}$ gefaltet. Dadurch wird eine Schwingung der Wellenzahl $k$ als eine Schwingung der Wellenzahl $k_{alias}$ interpretiert. Es gilt:

$$k=\frac{N}{2}+j\,\,\,\,\longrightarrow k_{alias}=\frac{N}{2}-j.$$ (1.7)

Daraus folgen die Zusammenhänge der Fehlinterpretation:

$$\begin{eqnarray*} k_{alias}(k) & = & N-k\,\, , \mbox{ f\uml {u}r } \frac{N}{2}<... ... & \frac{\tau}{\tau-1}\,\, , \mbox{ f\uml {u}r } 1< \tau \le 2. \end{eqnarray*}$$

Das Spektrum, das nur an den Wellenzahlen $k<\frac{N}{2}$ dargestellt wird, besteht immer aus dem Mittel von dem Frequenzanteil bei der dargestellten und der dazugehörigen Aliasing-Wellenzahl. Da dem so ist, scheint es nicht möglich das Spektrum eindeutig zu interpretieren. Tatsächlich ist das auch nur möglich, wenn man die Spektralanteile der Alias-Wellenzahlen unterdrückt (herausfiltert), oder weiß, daß solche ,,hohen`` Frequenzen nicht auftreten. Die hochfrequenten Anteile (mit $f>f_{N}$) kann man nur herausfiltern, wenn man sie auch gemessen hat, d.h. man muß eine deutlich höhere (z.B. Faktor 10) Abtastrate haben und die so erzeugte Zeitreihe tiefpaßfiltern. Erst dann kann man ein Aliasing-freies Periodogramm berechnen. Man weiß dann, daß der spektrale Varianzanteil bei Schwingungen mit $f>f_{N}$ aus der Fourier-Zerlegung stammt, denn aus der Zeitreihe ist er herausgefiltert. Deshalb muß der durch die Fourier-Zerlegung in den hohen Spektralbereich gefaltete Anteil wieder zurückgefaltet werden. Dies geschieht, indem man alle Varianzanteile bei $f<f_{N}$ verdoppelt. Man erhält somit das Varianzspektrum der Zeitreihe. Teilt man dieses durch die Gesamtvarianz, so erhält man die spektrale Varianzdichte $I(f)= \frac{\sigma(f)^{2}}{\sigma^{2}}$. Für das Beispiel aus Tabelle 1.1 bedeutet das, daß man wissen muß, daß Frequenzen mit $f>f_{N}$ nicht vorkommen. Damit ist vom Spektrum nur der auswertbare Teil mit $f\le f_{N}=\frac{4}{8}$ von Interesse. Da die Wellenzahl $k=0$ den Mittelwert repräsentiert, bleiben also nur noch die Wellenzahlen 1 bis 4 auswertbar (4 ist in diesem Fall die Nyquist-Wellenzahl), von denen die spektralen Varianzen von $k=1$ bis $k=3$ verdoppelt werden (man beachte, das bei ungeradzahliger Zeitreihenlänge die Nyquistfrequenz nicht auf eine Stützstelle fällt. Dann muß der zugehörige Wert auch verdoppelt werden). Damit folgt für die spektralen Varianzanteile aus dem Beispiel:

$f$	$\left\vert F(f)\right\vert^{2}$	Nach Rückfaltung	$I(f)$
$\frac{1}{8}$	$1.14$	2.28	.456
$\frac{2}{8}$	$.25$	.5	.1
$\frac{3}{8}$	$.61$	1.22	.244
$\frac{4}{8}$	$1.$	1.	.2
$\frac{5}{8}$	$.61$
$\frac{6}{8}$	$.25$
$\frac{7}{8}$	$1.14$
Summe=	$5.0$	5.0	1.0

Die kleinste durch die Fourier-Zerlegung aufgelöste (wenn auch mißgedeutete) Periode ist knapp über $1$. Was aber ist mit noch hochfrequenteren Schwingungen, deren Perioden also kleiner als eins sind. Diese können im Spektrum nicht vorkommen. Auch solche sehr hohen Frequenzen gehen zwar nicht explizit, aber jedenfalls fehlgedeutet in das Spektrum ein. Ein Beispiel kann dies verdeutlichen. Eine Schwingung habe eine Periode von $.8$ der Abtastrate. Zum Zeitpunkt $0$ beginne auch die Schwingung. Dann werden zum Zeitpunkt $1$ fünf Viertel der Schwingung stattgefunden haben, was wegen der Abtastung erscheint wie ein Viertel. Zum Zeitpunkt $2$ haben 2.5 Schwingungen stattgefunden, was wie eine halbe Schwingung erscheint. Wie man sich weiter überlegen kann, wird die Schwingung der Periode $.8$ als Schwingung der Periode $4$ fehlinterpretiert. Dieser Effekt liegt nicht an der Fourier-Zerlegung, ist also vom oben besprochenen Aliasing zu unterscheiden. Zumindest für $.5<\tau<1$ folgt dann der fehlinterpretierte Wert $\tau^{*}$ mit

$$\tau^{*}=\frac{\tau}{1-\tau}.$$ (1.8)

Die einfachste Art dieses Problem zu umgehen, ist die Verwendung von Mittelwerten, die die hohen Frequenzen herausfiltern. Die beliebten einfachen Intervallmittel (Jahresmittel, Monatsmittel, Tagesmittel) haben allerdings nicht den angenehmsten Einfluß auf das Spektrum.