Der Einfluß der Verwendung von Mittelwerten

Im folgenden wird eine spezielle Art der zeitlichen Mittelung weiter untersucht. Diese ist zwar nicht die für Spektralanalysen sinnvollste Art der Mittelung, aber immerhin die am häufigsten verwendete. Es handelt sich dabei um die Untersuchung von Zeitreihen von Zeitmitteln. D.h. es wird nicht zu bestimmten Zeitpunkten ein Meßwert aufgenommen und daraus ergibt sich die Zeitreihe, sondern es wird immer über konstante Zeiträume gemittelt. Die so entstehenden Zeitreihen sind dann z.B. Zeitreihen von Jahres-, Monats- oder Tagesmittelwerten. Um den Einfluß dieser Mittelung zu untersuchen, werden harmonische Schwingungen der Amplitude $A_{0}$ und Phase $\phi_{0}$ betrachtet:

$$X(t) = A_{0}\sin\left(\frac{2\pi t}{\tau}+\phi_{0}\right).$$ (1.9)

Tastet man diese Funktion in Abständen $n$ ab, so erhält man die Folge:

$$x_{n} = A_{0}\sin\left(\frac{2\pi n}{\tau}+\phi_{0}\right).$$ (1.10)

Für die Folge der Mittelwerte über Intervalle der Länge 1 gilt:

$$\begin{eqnarray*} \overline{x}_{n} & = & \int_{n}^{n+1} A_{0}\sin\left(\frac{2\... ...) -\cos\left(\frac{2\pi (n+1)}{\tau}+\phi_{0}\right)\right]. \end{eqnarray*}$$

Nun ist $\cos(x)-\cos(y) = -2 \sin(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}) \sin(\frac{x}{2}- \frac{y}{2})$ und deshalb folgt:

$$\overline{x}_{n} = A_{0}\frac{\tau}{\pi} \sin\left(\frac{\p... ...\left(\frac{2\pi n}{\tau}+ \frac{\pi}{\tau}+\phi_{0}\right).$$ (1.11)

Demnach führt der Filter (Verwendung von Mittelwertzeitreihen) zur Amplitudendämpfung $a(\tau)$ und Phasendrehung $\Phi(\tau)$ mit:

$$a(\tau) = \frac{\tau}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{\tau}\right),$$ (1.12)

$$\Phi(\tau) = \frac{\pi}{\tau}.$$ (1.13)

Man beachte, daß für große Perioden $\tau$ die Phasenverschiebung gegen null und die Amplitudendämpfung gegen eins geht, das heißt niederfrequente Schwingungen werden von dem Filter nicht verändert. Für kleine Werte von $\tau$ wird $\sin \left(\frac{\pi}{\tau}\right)$ immer schneller alternieren. Andererseits wird $\frac{\tau}{\pi}$ immer kleiner werden. Daraus folgt, daß $a(\tau)$ für kleine $\tau$ alternierend gegen null konvergiert. Wie man sich leicht klar machen kann, werden die Schwingungen mit $\tau=\frac{1}{n}$ exakt weggefiltert. Für dazwischenliegende Werte von $\tau$ sind die Amplituden durch die Einhüllende der Amplitudendämpfung $\left\vert\frac{\tau}{\pi}\right\vert$ begrenzt. Nun interessiert nicht die Amplitudendämpfung des Filters, sondern der dadurch hervorgerufene Einfluß auf das Varianzspektrum. Dieser Einfluß wird im Folgenden berechnet. Zunächst ist die Varianz gegeben durch:

$$\sigma^{2}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} (x(t)-\overline{x})^{2}dt$$ (1.14)

Dabei sei $T$ der Beobachtungszeitraum und $x(t)$ eine harmonische Schwingung gemäß Glg. (1.9). Unter der Annahme $\phi_{0}=0$ vereinfacht sich der Ausdruck für die Varianz der harmonischen Schwingung zu:

$$\sigma^{2}=\frac{A^{2}}{T}\int_{0}^{T} \sin^{2}\left(\frac{2\pi t}{\tau}\right)dt$$ (1.15)

mit der Lösung

$$\begin{eqnarray*} \sigma^{2} & = & \frac{A^{2}}{T}\left[\frac{1}{2} t - \frac{1... ...{\tau}\right)<\frac{A^{2}}{2}\left(1\pm \frac{1}{4 \pi}\right). \end{eqnarray*}$$

Die Ungleichung gilt, da nur Perioden kleiner als der Meßzeitraum aufgelöst werden. Mit $T=\frac{n}{4}\tau$ (und $n$ aus den natürlichen Zahlen) folgt exakt

$$\sigma^{2}=\frac{1}{2} A^{2}.$$ (1.16)

Die Varianz einer konkreten Schwingung hängt erst durch die Einführung des Filters von der Periode ab. Dann nämlich gilt $A=a(\tau) A_{0}$ und somit für die spektrale Varianz der gefilterten Reihe:

$$\sigma^{2}(\tau)=\frac{1}{2} a^{2}(\tau) A_{0}^{2}=a^{2}(\tau) \sigma^{2}$$ (1.17)

Will man also aus dem berechneten Spektrum der Mittelwertzeitreihe auf das Spektrum der zugrundeliegenden Zeitreihe schließen, so muß man dieses mit $a^{-2}(\tau)$ multiplizieren. Dabei gilt für $\tau>2$ (d.h. Frequenzen kleiner als die Nyquist-Frequenz) in guter Näherung (Fehler kleiner .5 %) die abgebrochene Reihenentwicklung:

$$a(\tau)\approx 1-\frac{\pi^{2}}{6 \tau^{2}}+\frac{\pi^{4}}{120 \tau^{4}}$$ (1.18)

Der Einfluß des Filters auf das Spektrum ist in Abbildung 1.1 dargestellt. In Tabelle 1.2 sind einige Zahlenwerte zusammengefaßt. Wie man sieht, ist der Filter keineswegs optimal, denn

• weder werden Schwingungen mit Perioden größer $2$ nicht beeinflußt,
• noch werden Schwingungen mit Perioden kleiner $2$ vollständig weggedämpft.

Gerade zwischen $\tau=1$ und $\tau=2$ bleibt noch bis zu $40 \%$ der Varianz der Schwingung erhalten und wird durch Aliasing in das Spektrum hineingefaltet. Es kann dann nicht mehr von dem dortigen Spektralanteil unterschieden werden. Schwingungen mit Perioden kleiner $1$ werden fast vollständig weggefiltert, so daß höchstens $4 \%$ von ihnen übrigbleiben und in das Spektrum einfließen.

Abbildung: Vom Periodogramm erkannter Anteil der Varianz bei verschiedenen Perioden. Für $\tau >1$ ist die Reihennäherung gepunktet eingezeichnet.

hb

Tabelle 1.2: Wirkung der Verwendung von Mittelwerten.

$\tau$	$a^{2}(\tau)$
.66	.0450
1	.0000
2	.4015
3	.6839
4	.8105
5	.8752
6	.9118
7	.9347
8	.9497
9	.9600
10	.9675
15	.9855