Berechnung der spektralen Dichte mittels Fourierdarstellung

Es wird nun von einer Zeitreihe $x(n)$ mit den N Werten $n=0,1,2,...,N-1$ ausgegangen. Diese Zeitreihe überdeckt demnach den Zeitraum von $N-1$ mal der Zeitschrittlänge. Die Fourier-Darstellung der Zeitreihe ist

$$x(n)=\sum_{k=0}^{N-1}F(k)\exp\left(\frac{i 2 \pi n k}{N}\right)$$ (1.2)

mit:

$n$	=	Zeitschrittzähler
$k$	=	Wellenzahl
	=	0, entspricht dem Mittelwert
$F(k)$	=	Fourierkomponente bei der Wellenzahl k
$\frac{k}{N}$	=	$f$ = Frequenz
$\frac{N}{k}$	=	$\tau$ = Periode.

Sehr handlich kann man die Fourier-Stützstellen als Wellenzahlen ausdrücken. Die $N$ Stützstellen sind dann äquidistant von $k=0$ bis $k=N-1$ durchgezählt. Die Fourier-Frequenzen folgen daraus. Um nun die Fourier-Komponenten zu berechnen, macht man die inverse Transformation von Glg. (1.2):

$$F(k)=\sum_{n=0}^{N-1}\frac{x(n)}{N}\exp\left(\frac{-i 2 \pi n k}{N}\right)$$ (1.3)

also:

$$F(k)= \sum_{n=0}^{N-1}\frac{x(n)}{N}\cos\left(\frac{ 2 \pi... ...=0}^{N-1}\frac{x(n)}{N}\sin\left(\frac{ 2 \pi n k}{N}\right).$$ (1.4)

Dabei ist $F(0)$ der Mittelwert $\overline{x}$ der Zeitreihe. Die Fourier-Darstellung der Zeitreihe kann nun verwendet werden, um deren Varianz auszudrücken, denn es gilt der wichtige Zusammenhang:

$$\sigma^{2}= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} (x(n)-\overline{x})^{2}= \sum_{k=1}^{N-1}F(k)^{2}=\sum_{k=1}^{N-1}\sigma^{2}(k).$$ (1.5)

Dabei ist zu beachten, daß die Summe über die Fourier-Komponenten bei 1 beginnt, da der Mittelwert (Die Schwingung mit der Wellenzahl 0) nicht zur Varianz beiträgt. $\sigma^{2}(k)$ ist die spektrale Varianz der untersuchten Zeitreihe bei der Wellenzahl $k$ und setzt sich zusammen aus:

$$\sigma^{2}(k)=F(k)^{2}=Re(F(k))^{2}+Im(F(k))^{2}.$$ (1.6)

Trägt man $\sigma^{2}(k)$ gegen $k$ auf, so erhält man das Periodogramm bzw. das geschätzte Varianzspektrum. Für eine Zeitreihe der Länge $N$ besteht es theoretisch aus $N-1$ Werten. Tabelle 1.1 zeigt die Ergebnisse eines einfachen Rechenbeispiels.

Tabelle: Ein einfaches Beispiel einer Fourier-Zerlegung. Die ersten zwei Spalten geben die Reihe in der Zeitdomäne an, die anderen beiden Spalten in der Frequenzdomäne.

$n$	$x(n)$	$f$	$F(f)$
0	8	$\frac{0}{8}$	$7$
1	9	$\frac{1}{8}$	$.28-1.03 i$
2	9	$\frac{2}{8}$	$.5$
3	6	$\frac{3}{8}$	$-.78-.03 i$
4	10	$\frac{4}{8}$	$1.$
5	3	$\frac{5}{8}$	$-.78+.03 i$
6	5	$\frac{6}{8}$	$.5$
7	6	$\frac{7}{8}$	$.28+1.03 i$