Spektrale Dichte

Die spektrale Dichte gibt an, welcher Anteil der Varianz einer beobachteten Zeitreihe durch Schwingungen mit bestimmten Frequenzen begründet werden kann. Deshalb ist die Herleitung über die Fourierdarstellung einer Zeitreihe wohl adäquat, auch wenn oft andere Wege beschritten werden (z.B. über die Autokorrelationsfunktion, weshalb die Spektralanalyse auch ASA = Autokorrelations-Spektral-Analyse genannt wird, um sie von anderen ähnlichen Analysen, mit gleichem Ziel, zu unterscheiden). Die Zerlegung einer Zeitreihe in ein System von orthogonalen Funktionen ist immer möglich, aber nicht immer sinnvoll. Noch fraglicher ist es, ob es sinnvoll ist gerade ein bestimmtes fest vorgegebenes System von Funktionen zu wählen, nämlich Sinus- und Cosinus-Funktionen. So kann man zwar einen linearen Trend in harmonische Funktionen zerlegen (und als Überlagerung solcher darstellen), jedoch macht dies sicher weniger Sinn, als den linearen Trend explizit als solchen zu betrachten und ihn am Ende gar von den zyklischen Komponenten zu unterscheiden, die man spektral analysieren will. Dies entspricht im Ansatz dem klassischen Zeitreihenmodell, das besagt, daß eine Zeitreihe aus mehreren Komponenten additiv zusammengesetzt ist:

$$X_{t}=G_{t}+Z_{t}+R_{t}$$ (1.1)

mit:

$X_{t}$	=	Zeitreihe,
$G_{t}$	=	Glatte Komponente,
$Z_{t}$	=	Zyklische Komponente und
$R_{t}$	=	Rauschanteil.

Betrachtet man eine Zeitreihe unter diesem Gesichtspunkt, so dient die Spektralanalyse dem Ziel zyklisches Verhalten zu finden und zu analysieren. Die glatte Komponente sollte dann vorher herausgefiltert werden, während der Rauschanteil dann übrigbleibt. Auch dessen spektrale Eigenschaften können mit der spektralen Varianzanalyse untersucht werden. Um den glatten Anteil aus einer Zeitreihe herauszufiltern, hat man zahlreiche Möglichkeiten, z.B.:

• Hochpaßfiltern.
• explizit erklären, durch ein Modell mit Einflußgrößen (z.B. physikalisch, aber auch statistisch (Regressionsmodell)).
• Eine Funktion (z.B. ein Polynom) optimal anpassen und abziehen.
• Splines anpassen und abziehen.
• linear detrenden (global).
• lokale Differenzen verwenden (d.h. die Reihe $y_{t}=x_{t}-x_{t-1}$ analysieren).

All das, was man vor der Spektralanalyse mit den Daten machen kann, nennt man Konditionierung. Man kann dabei schon ziemlich viel Unsinn machen; es kann aber auch sehr unsinnig, sein die Daten nicht aufzuarbeiten. Einen wichtigen Unterschied sollte man sich jedoch immer klar machen. Das Spektrum, das man berechnet ist zunächst das Spektrum der Zeitreihe - keinesfalls das Spektrum des die Zeitreihe erzeugenden Prozesses. Letzteres aus dem ersten zu schließen ist das Problem der Analyse. Denn die interessante Frage ist nicht ,,wie sieht die Zeitreihe aus`, sondern ,,warum sieht sie so aus`. Doch zunächst zur Berechnung des Stichprobenspektrums.