Periodogramm bei nichtäquidistanten Stützstellen

Es kann vorkommen, daß eine vorliegende Zeitreihe aus nicht äquidistant gemessenen Werten besteht (z.B. weil ein Meßgerät einen Eintrag sammelt, bis das Sammelgefäß irgendwann voll ist). Auch dann kann ein Periodogramm berechnet werden. Dies geschieht in diesem Fall einfach über eine Regressionsanpassung von Sinus- und Kosinusfunktionen. Man erhält so einen einfachen und anderen Zugang zum Stichprobenspektrum als auf Seite , indem man eine Kleinstquadrateanpassung macht. Dazu wählt man zunächst das System von anzupassenden Funktionen $m(t)$. Dies sind sinnvollerweise Sinus- und Kosinusfunktionen, bei den Fourier-Perioden:

$$m(t) = \beta_{1}(\lambda) \cos(2\pi\lambda t) + \beta_{2}(\lambda) \sin(2\pi\lambda t)$$ (1.26)

Diese werden an die mittelwertbereinigte Zeitreihe durch folgenden Ansatz optimal angepaßt:

$$\sum_{t} [(x(t)-\overline{x})-m(t)]^{2} = \min$$ (1.27)

Leitet man diesen nach $\beta_{1}(\lambda)$ und $\beta_{2}(\lambda)$ ab, so erhält man die beiden Bedingungsgleichungen für diese. Für das Periodogramm folgt dann (bei $N$ durchnummerierten Werten):

$$I(\lambda)=\frac{1}{N}\left\{\sum_{n=1}^{N} (x(t(n))-\overl... ...{N} (x(t(n))-\overline{x}) \sin(2\pi\lambda t(n))\right\}^{2}$$ (1.28)