Autokorrelationsspektralanalyse (ASA)

Nach dem Wiener-Chinchin-Theorem kann das Spektrum auch aus der Autokorrelationsfunktion geschätzt werden. Dies ist leicht zu sehen, denn nach Glg. (1.3) gilt für die spektrale Dichte

$$\begin{array}{rcl} \sigma^{2}(k) & = & F(k)^{2}= \sum\lim... ...cdot \, \exp\left(\frac{i 2 \pi l k}{N}\right) \end{array}$$

Dabei ist akf$(l)$ die Autokorrelationsfunktion zur Verschiebung $l$. Die spektrale Dichte ist demnach auch die Fourier-Transformierte der Autokorrelationsfunktion. Berechnet man sie auf diesem Weg, so bezeichnet man dies als Autokorrelationsspektralanalyse (ASA). Benutzt man die ASA zur Schätzung des Spektrums, so stellt sich die Frage, bis zu welcher Verschiebung man die Autokorrelationsfunktion verwendet. Als ersten Schritt, könnte man einen bestimmten Wert vorgeben (z.B. ein Viertel der Zeitreihenlänge). Je kleiner dieser Wert ist, desto glatter wird das Spektrum. Das bedeutet einerseits, daß unzverlässige Peaks vermieden werden, andererseits, daß auch die zuverlässigen Peaks zumindest teilweise unterdrückt werden könnten. Benachbarte Peaks können durch die Wahl von zu wenig berücksichtigten Zeitverschiebungen zu einem einzigen Peak zusammenschmelzen. Dies kann erhebliche Mißdeutungen zur Folge habe. Eine durchaus bessere Methode ist es, alle diejenigen Autokorrelationsfunktionswerte zu verwenden, die sich signifikant (auf einem vorzugebenden Niveau) von null unterschieden und alle nicht signifikanten Autokorrelationswerte auf null zu setzen. Eine weitere Möglichkeit ist es, den Autokorrelationskoeffizienten bei größeren Verschiebungen immer weniger Gewicht zu geben. Dies geschieht z.B. durch das Hamming Window:

$$d(l)= \frac{1}{2}\,\left(1 + \cos\frac{\pi\,l}{N-1}\right),\,\mbox{ f\uml {u}r } 0<l<(N-1).$$ (1.19)

Dann folgt für den Schätzer des Spektrums:

$$\sigma^{2}(k) = \frac{1}{N} \sum_{l=-(N-1)}^{N-1} d(l)\,\mbox{akf}(l)\,\cdot \, \exp\left(\frac{i 2 \pi l k}{N}\right)$$ (1.20)