Die U-Verteilung

In der Literatur findet man zwei Darstellungsformen der U-Verteilung. Einerseits kann die U-Verteilung zwischen $+A$ und $-A$ angegeben werden, dann gilt für die Wahrscheinlichkeitsdichte

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{\pi}\left(A^{2}-x... ...\le A \\ [1ex] 0 & \mbox{, sonst.} \end{array} \right.$$ (1)

Andererseits findet man auch eine zwischen $0$ und $1$ definierte U-Verteilung, für die dann die Dichte

$$g(z)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{\pi}\left(z(1-z)\... ...\le 1 \\ [1ex] 0 & \mbox{, sonst.} \end{array} \right.$$ (2)

angegeben wird. Man kann sich leicht vergewissern, daß sowohl Gleichung (1) als auch Gleichung (2) Wahrscheinlichkeitsdichten beschreiben, da sie nirgends negativ sind und das Integral von $-\infty$ bis $+\infty$ über diese Dichten jeweils $1$ ergibt. Zunächst soll hier gezeigt werden, daß die beiden Dichten sich nur darin unterscheiden, daß sie auf verschiedenen Intervallen definiert sind, d.h. daß sie bis auf einen Normierungsfaktor die gleiche Form haben. Dazu wird das Intervall $[-A,A]$ in das Intervall [0,1] transformiert. Dies geschieht durch die Transformation

$$z(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{A} + 1\right).$$ (3)

Nun kann Gleichung (3) in Gleichung (2) eingesetzt werden, woraus folgt

$$\begin{array}{rcl} g(z) & = & \frac{1}{\pi} \left[\left( ... ...x] & = & \frac{\partial z}{\partial x}\, f(x). \end{array}$$ (4)

Der Faktor $2\,A$, um den $g(z)$ gegenüber $f(x)$ verstärkt ist, ist gleich dem Faktor, um den $f(x)$ breiter ist als $g(z)$. Er folgt damit nur daraus, daß das Integral über beide Funktionen $1$ sein muß. Die beiden Verteilungen sind also gleich. Doch wo kommen sie her?