Verteilung der Feigenbaumdynamik bei $r=4$

Die Feigenbaumdynamik ist gegeben durch

$$x_{n+1} = r\, x_{n}\,(1 - x_{n}), \mbox{ mit }x_{0}\in[0,1].$$ (12)

Für den Fall $r=4$ spricht man von vollentwickeltem Chaos, und genau für diesen Fall soll hier die Verteilung der Variablen $X$ berechnet werden. Man könnte dazu das Intervall $[0,1]$ partitionieren (z.B. in $k$ gleichgroße Klasssen einteilen) und zählen, wie oft die nach Gleichung (12) Iterierte in jeder Klasse vorbeikommt. Dies würde zumindest zu einer numerischen Näherung der Verteilung führen. Hier soll die Verteilung aber anlaytisch berechnet werden. Dazu wird die Feigenbaumdynamik auf die Zeltdachabbildung $y_{n+1}= 2\,y_{n} \,\bmod 1$ zurückgeführt, was durch die Transformation

$$x = .5 (1-\cos 2\,\pi\,y)$$ (13)

geschieht. Da die Rechnung in mehreren Schritten verläuft, soll sie hier vorgeführt werden:

$$\begin{array}{rcl} x_{n+1} & = & r\,x_{n} \,(1-x_{n}) \\ [... ...{n})]\\ [1ex] y_{n+1} & = & 2\,y_{n} \bmod 1. \end{array}$$ (14)

Nun ist diese Zeltdachabbildung zwischen $0$ und $1$ gleichverteilt. Betrachtet man andererseits die harmonisch schwingende Zeitreihe, so reicht es aus, genau eine Schwingung zu untersuchen. Dabei läuft die Zeit $t$ gleichmäßig von $0$ bis $1$. Sie ist also ebenfalls zwischen $0$ und $1$ gleichverteilt (wenn auch nicht zufällig). Die harmonische Schwingung ist dann proportional zu $\cos(2\,\pi\,t)$ und transformiert damit die gleichverteilte Variable $t$ in die U-verteilte Variable $x(t)$ aus Gleichung (5). Genau das Gleiche geschieht durch Gleichung (13). Sie transformiert die gleichverteilte Variable der Zeltdachabbildung in die U-verteilte Variable der Feigenbaumabbildung bei $r=4$. Es ist demnach offensichtlich, daß die trigonometrischen Funktionen $\sin(2\,\pi\,x)$ und $\cos(2\,\pi\,x)$ gleichverteilte Variablen in U-vertelte Variablen transformieren.