Ziel

Mit Hilfe der klassischen Zeitreihenanalyse kann man regelhaftes Verhalten (strukturierte Komponenten) in Zeitreihen erkennen und separieren. Solche strukturierten Komponenten sind z.B. Trends und Jahresgang, sowie Änderungen im Jahresgang und weitere harmonische und glatte Anteile. Wenn es einem gelingt alle strukturierten Komponenten zu separieren, erhält man als Rest ein Rauschen. Dieses Rauschen muß dann mittelwertstationär sein, da die Variationen des Mittelwertes durch die strukturierten Komponenten beschrieben werden. Keinesfalls allerdings muß das Residuum varianzstationär sein. Deshalb soll nun die zeitliche Struktur der Varianz (bzw. etwas allgemeiner der Variationen) untersucht werden. Dazu wird davon ausgegangen, daß die Variationen Gauß-verteilt sind ¹. Nun können die Variationen selbst strukturierte Komponenten, wie z.B. einen Jahresgang, einen Trend und eine Änderung des Jahresgangs aufweisen. Diese gilt es zu detektieren und zu beschreiben. Dabei tritt das Problem auf, daß die Abweichungen vom Mittelwert nicht direkt als Variable verwendet werden können, da diese ja um den Mittelwert zentriert sind. Deshalb stehen verschiedene Möglichkeiten der Transformation der Abweichungen zur Verfügung. So könnte man z.B. den Betrag der Abweichungen untersuchen, der, wie wir sehen werden, $\chi-$verteilt ist mit einem Freiheitsgrad. Oder man könnte das Quadrat der Abweichungen wählen, was zu einer $\chi^{2}-$verteilten Variable führt, die wiederum einen Freiheitsgrad hat. Beide Verteilungen sind der Gauß-Verteilung nicht einmal ähnlich, weshalb dann die Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate nicht mehr in Frage kommt. Andere (sogenannte robuste) Verfahren, kämen dann zwar für die Analyse in Frage, aber sie unterliegen einer gewissen Willkür des Anwenders. Sie sind daher eher geeignet, Strukturen in nicht Gauß-verteilten Zeitreihen zu erkennen, als diese objektiv zu beschreiben. Deshalb soll hier ein anderer Weg eingeschlagen werden, indem versucht wird, die Abweichungen in zumindest Gauß-ähnliche Verteilungen zu transformieren. Gauß-ähnlich soll dabei bedeuten, daß man auf Grund des zur Verfügung stehenden Datenmaterials die Verteilung nicht signifikant von einer Gauß-Verteilung unterscheiden kann. Entsprechend dem zentralen Grenzwertsatz ist die Mittelung ein Weg, eine Verteilung in eine Gauß-ähnliche Verteilung zu transformieren. Daher erscheint es naheliegend, die Zeitreihe von gleitenden Mitteln quadrierter Abstände (gleitende Varianzen) zu untersuchen. Je größer dabei das Datenfenster ist, für das man die Varianz berechnet, umso ähnlicher ist die entstehende $\chi ^{2}$-Verteilung der Gauß-Verteilung, aber umso mehr Information über die Variabilität der Varianz geht dabei verloren. Man möchte also ein möglichst schmales Datenfenster verwenden, um möglichst wenig Information zu verlieren. Um hier ein optimales Maß für die Länge des Datenfensters zur Berechnung gleitender Varianzen (oder womöglich sinnvollerer Maße der Variation) zu finden, ist es zunächst notwendig, sich mit der Transformation von Verteilungen zu beschäftigen. Dies ist der Inhalt des nächsten Abschnitts.