Transformation der Verteilungen

Um die Transformationsbeziehung für die Verteilungen zweier funktional voneinander abhängigen Zufallsvariablen herzuleiten, gehen wir von einer Zufallsvariable $Y$ aus, die über eine bijektive Funktion $g$ von der Zufallsvariable $X$ abhängt. Die Bijektivität ist dabei eine notwendige Bedingung, um eine eindeutige umgekehrte Funktion $h(Y)=g^{-1}(Y)=X$ angeben zu können². Ziel ist es nun aus der Kenntnis der Funktion $Y=g(X)$ und der Wahrscheinlichkeitsdichte $f_{x}(x)$ der Variable $X$ auf die Wahrscheinlichkeitsdichte $f_{y}(y)$ der Variable $Y$ zu schließen. Für die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der beiden Variablen soll gelten

$$F_{y}(y')=F_{x}(x')=F_{x}(h(y')).$$ (1)

Das bedeutet, daß es zu jedem Wert $y'$ einen Wert $x'$ gibt, so daß die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Variable $X$ einen Wert kleiner als $x'$ annimmt, gleich der Wahrscheinlichkeit ist, daß die Variable $Y$ einen Wert kleiner $y'$ annimmt. Um die Wahrscheinlichkeitsdichte von $Y$ zu erhalten, wird Gleichung (1) nun nach $y$ abgeleitet. Man erhält nach der Kettenregel

$$\begin{array}{rcl} f_{y}(y') & = & \frac{d}{d\,y}F_{y}(y')... ... & = & f_{x}(x') \cdot \frac{d\,h(y')}{d\,y}. \end{array}$$ (2)

Mit Hilfe dieser Gleichung ist es möglich, aus der Kenntnis der funktionalen Abhängigkeit einer Variablen $Y$ von einer Variablen $X$ und der Wahrscheinlichkeitsdichte der Variablen $X$, auf die Wahrscheinlichkeitsdichte der Variablen $Y$ zu schließen.