Saisonale Komponente

Die saisonale Komponente besteht aus Schwingungen mit den Wellenzahlen $j=1,2,3,4,5$ und $6$ pro Jahr. Damit läßt sich der mittlere Jahresgang der Monatswerte exakt wiedergeben. Hier wird ein Ansatz gewählt, der nur signifikante Beiträge selektiert, und es somit erlaubt den signifikanten Teil des mittleren Jahresgangs anzugeben. Nun muß der Jahresgang keineswegs starr sein, sondern kann Fluktuationen oder langsamen systematischen (glatten) Änderungen unterliegen. Um glatte Änderungen im Jahresgang erfassen zu können, wird zugelassen, daß die Amplitude jeder im Jahresgang enthaltenen Schwingung sich linear und quadratisch im Laufe der Zeit ändern kann, d.h. für jede der sechs Wellenzahlen $j$ wird für die Amplituden der harmonischen Anteile ein quadratisches Polynom angesetzt. Damit folgt für die saisonale Komponente und deren glatte zeitliche Änderung ein Ansatz mit folgenden 18 Termen:

$$s_{j,k} = c_{j,k} + d_{j,k} t^{k} \cos\left(2\,\pi\frac{j}{... ..., \mbox{ f\uml {u}r } k=0,1,2 \mbox{ und } j=1,2,3,4,5,6.$$ (4.14)

Dieser Ansatz berücksichtigt die starren Anteile (k=0), die sich linear mit der Zeit ändernden Anteile (k=1) und die sich stärker als linear mit der Zeit ändernden Anteile (k=2) für alle sechs Wellenzahlen $j$. So können zusätzlich zum signifikanten Jahresgang auch signifikante lineare und progressiv sowie degressiv steigende bzw. fallende Änderungen in der Amplitude und Phase des Jahresgangs erkannt werden. Die zu einer Wellenzahl gehörenden Komponenten können zusammengefaßt werden zu

$$s_{j}(t) = A_{j} (t) \cos\left(2\,\pi\frac{j}{12}\,\left(t-t_{j}\right)\right)$$ (4.15)

mit der Amplitudenfunktion

$$A_{j}(t)=\sqrt{\sum\limits_{k=0}^{2}\left( d_{j,k}^{2}+e_{j,k}^{2}\right)t^{2k}}$$

, für alle signifikanten $k$ und der Phasenverschiebung

$$t_{j}(t)= \frac{12}{2\,\pi\,j} \arctan\left( \frac{\sum\limi... ...2}d_{j,k}\,t^{k}} {\sum\limits_{k=0}^{2}e_{j,k}\,t^{k}}\right)$$

, für alle signifikanten $k$. Falls zu einer bestimmten Wellenzahl $j$ nur ein signifikantes $k$ gefunden wird, bedeutet dies, daß sich die Phasenlage nicht ändert, während sich die Amplitude gemäß $t^{k}$ ändert. Damit läßt sich schon allein aus der Kenntnis der signifikanten Anteile eine Aussage über strukturierte Veränderungen in der Amplitude und Phasenlage des Jahresgangs treffen. Der signifikante Jahresgang ist dann darstellbar als Summe über alle signifikanten $s_{j,k}$. Um signifikante Trendkomponenten und starre bzw. glatt veränderliche Saisonfiguren zu finden, wird nach signifikanten Zusammenhängen der zu untersuchenden Zeitreihen und den 23 orthogonalen Basisfunktionen (den fünf Trend- und den 18 Saisonfiguren) gesucht. Der signifikanteste gefundene Zusammenhang (zu erkennen am höchsten univariaten Korrelationskoeffizienten) wird dann aus der Reihe eliminiert und gilt als erklärt. Danach wird erneut nach signifikanten Zusammenhängen des nicht erklärten Anteils mit diesen Basisfunktionen gesucht. Das Verfahren zieht somit rekursiv immer die am signifikantesten erklärbaren Anteile ab, bis keine signifikante Korrelation zu einer der Basisfunktionen mehr besteht. Nach diesem Arbeitsschritt können folgende Fragen beantwortet werden:

1. Gibt es eine signifikante saisonale Komponente und einen signifikanten Trend in der Zeitreihe?
2. Wieviel Varianz wird durch diese Komponenten beschrieben?
3. Welche Komponente beschreibt die meiste Varianz?
4. Wie sieht die starre Saisonfigur aus?
5. Hat sich die Saisonfigur signifikant geändert?
6. Wie hat sich die Saisonfigur geändert (Amplitude, Phasenlage)?
7. Welche Form und Stärke haben die signifikanten linearen bzw. nichtlinearen Trends?