Rauschen

Wenn außer dem Trend, der Saisonkomponente und der glatten Komponente keine weiteren Strukturen in der Zeitreihe vorhanden sind, so muß der nicht durch diese Komponenten beschriebene Anteil der Zeitreihe durch ein Zufallsrauschen beschreibbar sein. Dies wird im nächsten Schritt getestet. Dazu wird zunächst das Residuum $R= x(t) - m - t_{r}(t) - s(t) - g(t)$ auf seine Verteilung hin untersucht. Läßt sich die Verteilung nicht von einer Gauß-Verteilung unterscheiden, so bedeutet das nach dem zentralen Grenzwertsatz, daß dieses Residuum als Summe vieler im einzelnen unbedeutender Einflüsse betrachtet werden darf [3]. Getestet wird dies mit dem Kolmogoroff-Smirnoff-Test [12]. Ist das Residuum zusätzlich noch mittelwert-, varianz- und autokovarianzstationär, so kann es als Realisation eines stochastischen Prozesses aufgefaßt werden [4]. Die Stationarität des Residuums wird getestet, indem die Zeitreihe in zwei Intervalle eingeteilt wird und von jedem Intervall Mittelwert, Standardabweichung und Autokorrelationsfuntion miteinander verglichen werden. Für die Mittelwerte wird hierzu ein t-Test verwendet, für die Standardabweichungen ein F-Test [14]. Zum Test der Autokovarianzstationarität wird die Autokorrelationsfunktion der ersten und zweiten Hälfte des Residuums geschätzt und Fisher-Transformiert [14]. Dadurch kann davon ausgegangen werden, daß für jede Zeitverschiebung die Differenz zwischen dem Autokorrelationskoeffizienten der ersten und der zweiten Hälfte Gauß-verteilt ist. Damit ist diese Differenz leicht auf Überzufälligkeit zu testen. Sind für eine Residuenreihe die Stationaritätsannahmen erfüllt und ist ihre Verteilung nicht von einer Gauß-Verteilung zu unterscheiden, so kann weiterhin deren Autokorrelationsfunktion und partielle Autokorrelationsfunktion untersucht werden. Damit ist ein linearer stochastischer Prozeß an das Residuum anpaßbar und die Zeitreihe ist vollständig beschrieben. Zusätzlich kann auch die Spearman-Autokorrelationsfunktion [12] und die Autoinformationsfunktion [18] berechnet werden, die Aufschluß darüber geben, um wieviel besser das Residuum durch eine streng monotone Abbildung eines linearen Prozesses (Spearman-Koeffizient) oder einen nichtlinearen stochastischen Prozeß beschreibbar ist (Autoinformation).