Seltene Ereignisse

Leider gelingt eine Zerlegung, wie sie oben beschrieben ist, nur selten. Der am wenigsten kompliziertere Fall ist der, daß die Verteilung des Residuums fast Gauß-verteilt ist, d.h. hier, daß der Unterschied zur theoretischen Verteilung von wenigen extremen Werten herrührt. Diese extremen Werte $e(t)$ können in der Zeitreihe als seltene Ereignisse sichtbar sein, ohne welche die Verteilung Gauß-verteilt wäre. Nachdem die variable Saisonfigur, Trends und weitere glatte Komponenten eliminiert sind, können Extremwerte, die nicht zum Rest der Verteilung passen und somit seltene Ereignisse darstellen, sichtbar werden. Da die Methode der kleinsten Quadrate, mit welcher die Trendkomponente und die Saisonfigur angepaßt wurden, sehr sensibel auf extreme Werte reagiert, muß nach der Eliminierung der Extremwerte erneut die Regression mit den Basisfunktionen durchgeführt werden. Findet man Extremwerte, so stellt sich die Frage, woher diese kommen. Es gibt zwei unterscheidbare Ursachen, die dafür in Frage kommen. Einerseits können sie seltene zufällige Werte der Beobachtungsgröße selbst sein (und somit Teil des Rauschens), andererseits kann ein spezielles Ereignis zu diesen Werten geführt haben (Ausreißer). Dies könnten Fehler in der Datenaufnahme und -aufbereitung sein, oder eine außergewöhnliche klimatologische Situation. Der im Folgenden vorgestellte Test dient nun dazu, zu berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Extremwert ein zufälliges seltenes Ereignis darstellt, d.h. mit welcher Wahrscheinlichkeit er verträglich mit der dem Residuum zugrundeliegenden Verteilung ist. Dazu wird von der Hypothese ausgegangen, daß die restlichen Werte des Residuums Gauß-verteilt sind. Diese Hypothese muß natürlich zunächst getestet werden. Falls das Residuum nicht Gauß-verteilt ist, muß man entweder

• eine andere theoretische Verteilung anpassen (und die Teststrategie erneut lösen), oder
• das Residuum in eine Gauß-verteilte Reihe transformieren.

Hier wird von einem Residuum als einer Zeitreihe von identisch normalverteilten unabhängigen Variablen ausgegangen (Gaußsches Rauschen). Diese hat die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

$$p(z)=\frac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\,\exp\left(-\,\frac{z^{2}}{2}\right).$$ (4.17)

Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P(z\le Z)$ folgt dann

$$P(z\le Z)=\frac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\,\int_{-\infty}^{Z}\exp\left(-\,\frac{z'^{2}}{2}\right)\,dz'.$$ (4.18)

Für die Wahrscheinlichkeit eine Zahl zwischen $\pm Z$ anzutreffen, folgt dann

$$P(-Z\le z \le Z) = P(Z) -P(-Z).$$ (4.19)

Da die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Normalverteilung eine gerade Funktion ist, gilt weiter

$$P(-Z) = 1 - P(Z).$$ (4.20)

Daraus folgt sofort:

$$P(-Z\le z \le Z) = 2\, P(Z) - 1.$$ (4.21)

Aus dem gleichen Grund kann man für $Z > 0$ Glg. (4.18) umformulieren zu

$$P(z\le Z)=\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\,\int_{0}^{Z}\exp\left(-\,\frac{z'^{2}}{2}\right)\,dz'.$$ (4.22)

Dieses Integral ist nicht analytisch lösbar. Jedoch gibt es ein ähnliches Integral, für das z.B. in den Numerical Recipes [12] Reihen- und Partialbruchnäherungen angegeben werden. Dieses ``ähnliche`` Integral ist die sogenannte Errorfunktion und hat folgende Gestalt:

$$\mbox{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,\int_{0}^{x}\exp \left(-\,u^{2}\right)\,du.$$ (4.23)

Um das Integral in Glg. (4.22) in diese Form zu bringen, wird eine einfache Variablentransformation durchgeführt. Dazu wird Glg. (4.22) zunächst umgeschrieben zu

$$P(z\le Z)=\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\,\int_{0}^{... ... \left(-\,\left[\frac{z'}{\sqrt{2}}\right]^{2}\right)\,dz'.$$ (4.24)

Transformiert wird nun $t=\frac{z'}{\sqrt{2}}$, d.h. $z' = \sqrt{2}\,t$, mit der Ableitung $\frac{dz'}{dt}=\sqrt{2}$. Damit folgt für $P(z\le Z)$

$$P(z\le Z)=\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2\,\pi}}\,\int_{0}^{t(Z)}\exp \left(-\,t^{2}\right)\,\frac{dz'}{dt}dt.$$ (4.25)

Setzt man die Ableitung und die transformierte Integralgrenze ein, so erhält man

$$P(z\le Z)=\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{\pi}}\,\int_{0}^{\fr... ...eft(1+\mbox{erf}\left(\frac{Z}{\sqrt{2}} \right) \right).$$ (4.26)

Aus den Gleichungen (4.21) und (4.26) folgt nun

$$P(-Z \le z\le Z) = \mbox{erf}\left( \frac{Z}{\sqrt{2}}\right).$$ (4.27)

Dies ist die Wahrscheinlichkeit dafür, durch Zufall aus einer identisch normalverteilten Variable einen Wert zu ziehen, dessen Betrag kleiner $Z$ ist. $1- P(-Z \le z\le Z)$ ist dann die Wahrscheinlichkeit durch Zufall einen mindestens so großen Wert zu ziehen wie $Z$. Diese Wahrscheinlichkeit gilt für den Fall, daß man einmal zieht. Die Zeitreihe, die untersucht werden soll, besteht aber aus $N$ Werten. Sie stellt damit gemäß den Annahmen eine Realisation dar, bei der $N$-mal hintereinander (unabhängig) eine solche Zufallszahl gezogen wurde. Dies wiederum ist ein Bernoulli-Experiment. Die Wahrscheinlichkeit, bei $N$ Realisationen $k$ mal einen Wert mit der Eintrittswahrscheinlichkeit $1- P(-Z \le z\le Z)$ zu erhalten, folgt demnach einer Binomialverteilung. Für Werte von $N \ge 100$ und $1- P(-Z \le z\le Z) \le .05$ kann diese Verteilung durch die Poissonverteilung genähert werden. Somit ist die Wahrscheinlichkeit für das zufällige $k$-malige Auftreten eines solch großen (oder größeren) Wertes gegeben durch

$$p(k,N,1- P(-Z \le z\le Z))=\frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{k}}{k!}$$ (4.28)

mit $\lambda=N \,(1- P(-Z \le z\le Z))$. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß in einer Zeitreihe der Länge $N$ ein solch extremer Wert durch Zufall nicht auftritt ist demnach

$$p(k=0,N,1- P(-Z \le z\le Z)) = \exp\left[-N\,\,\mbox{erf}\left(\frac{Z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$ (4.29)

Damit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Wert mit dem Abstand $\Vert z\Vert\ge Z$ vom Mittelwert der normierten Gaußverteilung in einer Zeitreihe des Umfangs $N$ durch Zufall mindestens einmal auftritt, gegeben durch

$$1-p(k=0,N,1- P(-Z \le z\le Z)) =1 - \exp\left[-N\,\mbox{erf}\left(\frac{Z}{\sqrt{2}}\right)\right].$$ (4.30)

Bei der Durchführung des Tests wird wie folgt vorgegangen: Zunächst wird der am weitesten vom Mittelwert entfernte Wert der Verteilung gesucht und als möglicher Ausreißer ins Auge gefaßt. Aus den restlichen Werten werden Mittelwert und Standardabweichung der zugrundeliegenden Verteilung geschätzt. Mit Hilfe des Kolmogoroff-Smirnoff-Tests wird getestet, ob die Verteilung der restlichen Werte signifikant von der Gaußverteilung abweicht. Nur wenn dies nicht der Fall ist, darf der Test weiter durchgeführt werden. Im nächsten Schritt wird der normierte Abstand des möglichen Ausreißers vom Mittelwert der Verteilung der restlichen Werte berechnet. Daraufhin kann die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden, daß ein Wert, der so weit oder weiter vom Mittelwert der Verteilung entfernt liegt, durch Zufall als eine Realisation der Verteilung auftritt (Gleichung (4.27)). Die Zeitreihe mit $N$ Werten stellt dann ein Bernoulli-Experiment mit $N$ Realisationen dar. Im letzten Schritt braucht man nun nur noch zu testen, wie wahrscheinlich kein solch großer Wert in einer Zeitreihe der gegebenen Länge auftritt (Gleichung (4.29)). Treten in einer Reihe mehrere seltene Ereignisse auf, so können sie durch sukzessive Anwendung des Tests gefunden werden (man beachte, daß dann erst nach Abzug aller Ausreißer die Gaußverteilung erkannt werden muß). In diesem Fall können folgende Fragen beantwortet werden:

1. Treten die seltenen Ereignisse insbesondere in bestimmten Jahreszeiten auf?
2. Handelt es sich um hauptsächlich positive oder negative Extrema?
3. Können sie durch einen Extremwertprozeß beschrieben werden?