Hauptkomponenten der Variation der klimatischen Größen

Der Abschnitt 4.3.2 war der Zerlegung der Zeitreihen in spezielle Strukturen und der Suche nach Zusammenhängen zwischen diesen gewidmet. Die Zerlegung der Zeitreihen wurde dabei nach einem vorgegebenen Muster durchgeführt. Hier sollen die Zeitreihen nun in Komponenten zerlegt werden, die nicht vorher von außen vorgegeben werden. Stattdessen soll die Variation der Reihen der klimatischen Größen in Hauptkomponenten zerlegt werden. So ist z.B. die Variation der monatlischen Mitteltemperaturen um den mittleren Jahresgang ursprünglich durch die 12 Monatsreihen dieser Abweichungen ausgedrückt. Diese Reihen sind weder voneinander unabhängig (es bestehen Korrelationen) noch beschreibt eine einzelne Reihe eine bestimmte Struktur der Abweichung vom mittleren Jahresgang. Aus den 12 Monatsreihen lassen sich aber durch die Hauptkomponentenanalyse 12 neue Reihen erzeugen, die

1. orthogonal zueinander sind,
2. Jahresgänge der Abweichungen vom mittleren Jahresgang darstellen und
3. drittens nach ihrem Anteil an der Gesamtvarianz der Abweichungen vom mittleren Jahresgang sortiert sind.

Der wesentliche Schritt der Hauptkomponentenanalyse ist die Hauptachsentransformation. Geht man davon aus, daß man $N$ Zeitreihen der Länge $J$ vorgegeben hat, so stellen diese eine Punktwolke von $J$ Punkten im $N$-dimensionalen Raum dar. Man kann die $N$ skalaren Zeitreihen somit auch als eine $N$-dimensionale Vektorzeitreihe auffassen. Ein Vektor (und auch eine Reihe von Vektoren) kann bezüglich einer beliebigen Basis im Raum formuliert werden. Ziel der Hauptachsentransformation ist es nun, eine andere, sinnvollere Basis zu verwenden, als die durch die Zeitreihen vorgegebene. Dies geschieht in zwei Schritten. Zunächst wird der Ursprung des Koordinatensystems in den Schwerpunkt der Punktwolke gesetzt. Dadurch wird in der Anwendung dieser Arbeit der mittlere Jahresgang eliminiert. Im zweiten Schritt wird das Koordinatensystem dann so gedreht, daá die erste Koordinate in Richtung der größten Varianz der Punktwolke zeigt. Damit ist die erste Hauptachse festgelegt und die Varianz in dieser Richtung ist die erste Hauptkomponente. Die nächste Drehung wird dann um diese Koordinatenachse gemacht, und zwar so, daß die zweite Hauptachse (die orthogonal zur ersten stehen muß) in Richtung der größten verbleibenden Varianz zeigt. Dieser Vorgang wird so oft wiederholt, bis eine neue $N$-dimensionale Basis geschaffen ist. Nach dieser Transformation ist die Varianz der Punktwolke (und damit auch der Originalreihen) so auf neue Koordinaten (und damit auch neue Zeitreihen) verteilt, daß die Varianz dieser Reihen mit zunehmender Reihennummer abnimmt. Die erste Hauptachse beschreibt also die Hauptvarianz, die $N$-te Hauptachse die geringste Varianz. Damit kann man sehen, ob die Variation auf wenige Musterjahresgänge reduziert werden kann. In diesem Fall beschreiben die ersten Hauptkomponenten schon einen großen Anteil der Gesamtvarianz. Andernfalls, d.h. falls die Varianz nur sehr langsam mit zunehmender Hauptkomponente abfällt, gibt es keine typischen Hauptstrukturen. Diese Information steckt in der Drehmatrix, mit der vom alten System ins neue gedreht wird. Für die Fragestellung dieser Arbeit ist es von besonderem Interesse, zu sehen, ob die führenden Hauptkomponenten der Variation der Temperatur und des Niederschlags als Information in der Zeitreihe der Jahrringbreiten wiedergefunden werden. Nur wenn das der Fall ist, können Hauptmuster des Jahresgangs der klimatischen Größen Rekonstruiert werden. Andererseits sieht man dadurch auch, welche Variationsmuster der klimatischen Größen nicht in der Zeitreihe der Jahrringbreiten zu finden sind.