Multiple Analysen

Bei den multiplen Analysen werden mehrere Einflußfaktoren simultan betrachtet. Der Einfachheit halber werden in den hier untersuchten Beispielen nur jeweils zwei Einflußfaktoren ($X_{1}$ und $X_{2}$) berücksichtigt. Dabei können $X_{1}$ und $X_{2}$ jeweils die Zeitreihen der Sommermonatstemperaturen ( $T_{4},\,\cdots,\,T_{9}$) und der monatlichen Sommerniederschläge ( $N_{4},\,\cdots,\,N_{9}$), aber auch Quadrate dieser Reihen sein. Gesucht wird nun nach optimalen Anpassungen von zweidimensionalen Funktionen $\hat{B}(X_{1},X_{2})$ an die beobachtete Reihe der Jahrringbreiten $B$. Es wurden drei Experimente mit verschiedenen vorgegebenen funktionalen Zusammenhängen durchgeführt. Für jeden vorgegebenen Zusammenhang gibt es bei zwei erlaubten Einflußfaktoren aus der Menge der zur Verfügung stehenden klimatischen Zeitreihen eine bestimmte Anzahl an möglichen Kombinationen. Davon ist wiederum nur ein gewisser Anteil signifikant. Die signifikanteste Kombination wird selektiert und deren erklärte Varianz berechnet. Für die drei durchgeführten Experimente ergeben sich dann folgende Ergebnisse:

1. Funktionaler Zusammenhang: $\hat{B}=a_{0} + a_{1}\,X_{1} + a_{2}\,X_{2}$
   das erlaubt 66 Kombinationen, von denen 35 signifikant sind.
   Signifikanteste Kombination: $T_{6},\, N_{7}$
   Erklärte Varianz: $\sigma^{2}= 25.7 \%$
2. Funktionaler Zusammenhang: $\hat{B}=a_{0} + a_{1}\,X_{1} + a_{2}\,X_{1}^{2}$
   das erlaubt 12 Möglichkeiten, von denen 5 signifikant sind.
   Signifikanteste Möglichkeit: $N_{7}$
   Erklärte Varianz: $\sigma^{2}= 17.2 \%$
3. Funktionaler Zusammenhang: $\hat{B}=a_{0} + a_{1}\,X_{1} + a_{2}\,X_{1}^{2} + a_{3}\,X_{2} + a_{4}\,X_{2}^{2} + a_{5}\, X_{1}\, X_{2}$
   das erlaubt 78 Kombinationen, von denen 64 signifikant sind.
   Signifikanteste Kombination: $T_{6},\, N_{7}$
   Erklärte Varianz: $\sigma^{2}= 29.99 \%$

In Abb 4.12 ist die erklärte Varianz in Abhängigkeit von den zwei verwendeten Einflußgrößen dargestellt. Man sieht deutlich, daß die signifikanteste Kombination deutlich signifikanter ist als alle anderen Kombinationen.

Abbildung: Erklärte Varianzen multipler vollständiger quadratischer Regressionen zwischen den klimatischen Parametern für die Sommermonate in Potsdam (1 bis 6 = Monatstemperaturen von April bis September, 7 bis 12 = monatliche Niederschlagssummen von April bis September) und der Jahrringbreite von Kiefern in der Region Brandenburg von 1891 bis 1991.

Das dritte Experiment stellt die Jahrringbreite als vollständige quadratische Form von zwei Monatsmitteln klimatischer Einflußgrößen dar. Dieser Ansatz repräsentiert eine Arbeitspunkthypothese, die besagt, daß es eine bestimmte mittlere Niederschlagsmenge und eine bestimmte mittlere Temperatur gibt, bei der das Wachstum optimal ist. Für alle anderen Kombinationen ist (unter dieser Hypothese) das Wachstum schlechter. Diese Hypothese ist durch einen Paraboloiden charakterisiert, der durch den Ansatz im dritten Experiment erfaßt werden kann. Stellt man diesem Ansatz einen aus sigmoiden Funktionen bestehenden Ansatz gegenüber, so kann man testen, ob eine alternative Hypothese (die der Sättigung) sinnvoller ist. Bei der Sättigungshypothese geht man davon aus, daß das Baumwachstum in einem bestimmten Intervall der klimatischen Einflußgrößen sensibel gegenüber diesen ist, falls die klimatologischen Einflußgrößen aber eine obere Schwelle überschreiten (bzw. eine unter Schwelle unterschreiten), keine Abhängigkeit von diesen mehr besteht. Untersuchungen zum Vergleich solcher verschiedener Hypothesen konnten im zeitlichen Rahmen dieser Arbeit nicht mehr durchgeführt werden, sind aber von besonderem Interesse. Zusätzlich können auch bei der multiplen Betrachtung die Hauptkomponenten statt der Monatswerte als Einflußgrößen verwendet werden. In einem weiteren strategischen Entwicklungsschritt könnte man die multiple und die sukzessive Herangehensweise koppeln, indem man sukzessive die Dimension der multiplen Ansätze erhöht und dabei nach signifikant besseren Zusammenhängen sucht. Auch dieser vielversprechenden Strategie konnte im Rahmen dieser Arbeit nicht mehr nachgegangen werden.