Farben des FIWN-Rauschens

Auch für die verschiedenen Werte von $d$ beim FIWN-Rauschen unterscheidet man verschiedene Farben des Rauschens (s. [15]). Dabei hat man sich jedoch nicht von den Farben des spektral aufgelösten Lichtes leiten lassen, sondern davon, daß für $d=1$ das FIWN-Rauschen nichts anderes ist als Brownsches Rauschen

$$Y_{t}=Y_{t-1}+\mbox{WN}_{t}\leftrightarrow Y_{t}= (1-B)^{-d}\,\mbox{WN}_{t}.$$

Nun kann man Brown nicht nur als Name sondern auch als Farbe ansehen und da für $d=0$ wieder weißes Rauschen selbst übrigbleibt, hat man FIWN-Rauschen mit $0<d<1$ als rosa Rauschen bezeichnet und FIWN-Rauschen mit $d>1$ als schwarzes Rauschen. In Tabelle 1 werden die verschiedenen Rauschen nach Art des Gedächtnisses und Stationarität unterschieden. Dabei fällt insbesondere auf, daß für $d\ge .5$ und $d\le -.5$ keine Stationarität mehr vorliegt, d.h. weder Spektrum noch Autokorrelationsfunktion des Prozesses angegeben werden können. Für die Zeitreihenanalyse kann dann zwar das Spektrum der Zeitreihe noch verwendet werden, nicht aber die Zeitreihenautokorrelationsfunktion. Um instationäre Zeitreihen untersuchen zu können, wurden weitere Maße zur Analyse instationärer Prozesse mit langem Gedächtnis entworfen. In Abschnitt 6 werden verschiedene Maße zur Analyse von Zeitreihen, die womöglich aus Prozessen mit langem Gedächtnis stammen, verglichen. Doch zuvor soll an dieser Stelle eine etwas exaktere Definition des Brownschen Rauschens gegeben werden, um dessen Verallgemeinerungen besser verstehen zu können.

Tabelle: Realisierungen von FIWN-Rauschen in Abhängigkeit vom Exponenten $d$.

Exponent	Farbe	Gedächtnis	Stationarität
$d>1$	schwarz	lang	nein
$d=1$	Brown	lang	nein
$1>d>0.5$	rosa	lang	nein
$d=.5$	rosa $\left(\frac{1}{f}\right)$	lang	nein
$0.5>d>0$	rosa	lang	ja
$d=0$	weiß	ohne	ja
$0>d>-.5$	?	?	ja
$d=-.5$	?	?	nein
$d<-.5$	?	?	nein