Exakte Definition des Brownschen Rauschens

Die gewöhnliche klassische Brownsche Bewegung hat viele Namen. Unter ihnen sind Wiener-Funktion, Bachelier-Funktion, Bachelier-Wiener-Lévy-Funktion und Wiener-Prozeß. Mandelbrot [10] unterscheidet verschiedene Typen von Brown-Funktionen, von denen sein Typ Brown-Funktion vom Typ Gerade-Gerade gerade das ist, was man im klassischen Sinn unter Brownscher Bewegung versteht. Für diese Brownsche Bewegung gilt unter den Bedingungen

a)

die Zeitvariable $t$ ist reell,

b)

die Raumvariable $x$ ist reell,

c)

der Parameter $H$ besitzt den Wert $H=.5$ und

d)

$\Phi(x)$ ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

die Definition:
Die Brown-Funktion ist eine zufällige Funktion, für die

$$Pr([B(t+\Delta t)-B(t)]/\vert\Delta t\vert^{H}< x) = \Phi(x)$$ (25)

für alle $t$ und $\Delta t$ gilt.



Für $H=.5$, wie in der Definition benutzt, erhält man die klassische Brownsche Bewegung. Der Definition nach sind die Zuwächse dann Gaußsches weißes Rauschen. Dem Parameter $H$ kann ein anderer Wert zwischen 0 und 1 zugeordnet werden. Man hat es dann mit einer verallgemeinerten Brownschen Bewegung zu tun, die als fraktionelle Brownsche Bewegung bezeichnet wird. Der Bestimmung des Parameters $H$ kommt in der Analyse von instationären Zeitreihen aus Prozessen mit langem Gedächtnis große Bedeutung zu. Dies liegt insbesondere daran, daß zwischen dem $H$ aus Gleichung (25) und dem Grad der fraktionellen Integration $d$ für instationäre Prozesse der wichtige Zusammenhang

$$d=.5+H$$ (26)

für $0< H < 1$ gilt. Damit kann $1/f$- bis $1/f^{3}$-Rauschen charakterisiert werden. Darüber hinausgehende Fälle findet man in [10].