Die Autokorrelationsfunktion

Die Bedingung

$$\sum\limits_{\tau = 0}^{\infty} \vert\rho_{\tau}\vert =\infty,$$ (27)

die für stationäre Prozesse mit langem Gedächtnis erfüllt sein muß, ist praktisch nicht meßbar, da $\rho_{\tau}$ für große $\tau$ immer schlechter schätzbar wird und für $\tau\to \infty$ nicht mehr beobachtbar ist. Andererseits interessiert man sich ja auch eher für ein Gedächtnis auf bestimmten Zeitskalen, als für die Frage, ob das Gedächtnis eines Prozesses tatsächlich unendlich weit reicht. Im allgemeinen begnügt man sich damit, zu testen, ob die Autokorrelationsfunktion $\rho_{\tau}$ für die Werte von $\tau$, für die sie gut schätzbar ist, proportional zu $\tau^{a}$ mit $a<0$ ist, d.h., daß die zu untersuchende Zeitreihe eine Realisation eines FIWN-Prozesses ist. Man muß dabei aber auch beachten, daß $\rho_{\tau}$ z.B. bei einem AR(1)-Prozeß proportional zu $\alpha^{\tau}$ ist. Zwischen diesen beiden Fällen muß man z.B. unterscheiden können. Dies kann man durch Logarithmieren erreichen. Im Fall des AR(1)-Prozesses folgt nämlich

$$\log(\rho) \sim \tau,$$ (28)

während im Fall des FIWN gilt

$$\log(\rho) \sim \log(\tau).$$ (29)

Das bedeutet, daß sich bei der Realisation eines FIWN-Prozesses im Log-Log-Plot eine Gerade ergibt, während beim AR(1)-Prozeß $\log(\rho)$ linear von $\tau$ abhängt. Für den FIWN-Prozeß ist $\rho_{\tau}\sim \tau^{2d-1}$. Falls nun $d\ge .5$ wird, wird der Prozeß mit langem Gedächtnis instationär. Der Begriff Autokorrelationsfunktion verliert dann seine Bedeutung. Man erkennt das auch daran, daß $\rho_{\tau}\sim \tau^{\gamma}$ für $\gamma >1$ keinen Sinn macht. Stattdessen ist die aus einer vorliegenden Zeitreihe geschätzte Autokorrelationsfunktion dann instationär. Zumindest das kann man dann zeigen, um zu sehen, daß die geschätzte Autokorrelationsfunktion in diesem Fall kein brauchbares Werkzeug ist. Viel problematischer erscheint es mir jedoch, daß in diesem Fall auch die Definition eines Prozesses mit langem Gedächtnis zusammenbricht (s. Abschnitt 3.1).