Das Spektrum

Für tiefe Frequenzen geht das Spektrum jedes ARMA-Prozesses gegen eine Konstante. Das Spektrum eines ARFIMA-Prozesses hingegen hat wegen $S(f)\sim f^{-2d} S_{\mbox{ARMA}}$ bei $f=0$ eine Singularität. In der Log-Log-Darstellung ergibt das ARFIMA-Spektrum bei kleinen Frequenzen eine Gerade, deren Steigung $-\beta=-2d$ ist. Bei FIWN-Spektren sind Frequenzen ab einem Zehntel des Zeitschritts schon klein genug. Sieht man also in der Log-Log-Darstellung des geschätzten Spektrums einer Zeitreihe eine (signifikante) Gerade, so kann man vermuten, daß die Zeitreihe aus einem Prozeß mit langem Gedächtnis stammt. Aus der Steigung $-\beta=-2d$ der Geraden läßt sich der Grad der fraktionellen Integration $d$ bestimmen. Die fraktionell differenzierte Zeitreihe müßte dann eine Realisation eines ARMA-Prozesses sein. Ein konsistenter Schätzer für $d$, der auf ein unveröffentlichtes Manuskript von Robinson (1992) zurückgeht, wird in [14] angegeben.